勒貝格微分定理

數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函數在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。

定理敘述

設$f\in \mathrm {L_{loc}^{1}} (\mathbb {R} ^{k})$為实值或复值的局部可積函數，m為$\mathbb {R} ^{k}$的勒貝格測度。那麼$\mathbb {R} ^{k}$中幾乎處處的x都符合

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)=0$

使上式成立的点称为$f$的勒贝格点。

證明

因為這定理是關於函數的局部性質，不失一般性，可假設函數f定義在有界集合中，故f為可積函數。

定義

$(T_{r}f)(x)={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)$

$(Tf)(x)=\limsup _{r\to 0}(T_{r}f)(x)$

那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0，集合{Tf > y}的測度為零。

對連續函數，這定理顯然成立。連續函數在$\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{k})$中稠密，故此對任意正整數n，有連續函數g使得$\|f-g\|_{\mathrm {L} ^{1}}<1/n$。

令$h=f-g$。由於g連續，有Tg = 0。

用三角不等式有

$(T_{r}h)(x)\leq {\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm+|h(x)|$

設$Mh=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm$。（Mh為h的哈代－李特爾伍德極大函數。）從上式得

$Th\leq Mh+|h|$

因為$T_{r}f\leq T_{r}g+T_{r}h=T_{r}h$，所以有

$Tf\leq Th\leq Mh+|h|$

若Tf > y，則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此$\{Tf>y\}\subset \{Mh>y/2\}\cup \{|h|>y/2\}$

由哈代－李特爾伍德極大不等式得

$m\{Mh>y/2\}\leq 3^{k}(2/y)\|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}<3^{k}\cdot 2/(ny)$

由積分的基本性質有

$m\{|h|>y/2\}y/2\leq \|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}$

故得

$m\{|h|>y/2\}\leq 2/(ny)$

因此

${\begin{aligned}&m\{Tf>y\}\\&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\}\\&<2(3^{k}+1)/(ny)\end{aligned}}$

因為上式對所有正整數n成立，從而知m{Tf > y}=0。定理得證。

參考

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.