勒贝格点

在數學的實分析中，一個函數f的定義域上的一點，稱為勒貝格(Lebesgue)點，大約是指在該點附近可以取任意小的鄰域，使得f在這鄰域上的平均，非常接近f在該點的值。

定義

若$\mu$是$\mathbb {R} ^{n}$上的拉东测度，$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$，$1\leq p<\infty$，$f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\mathbb {R} ^{n},\mu )$，即$|f|^{p}$是局部可積函數，那么若点$x$适合

$\lim _{r\to 0+}{\frac {1}{\mu (B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f-f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu =0$，

则稱$x$是勒贝格点。（其中$B(x,r)$是以x为中心，r为半径的閉球。）勒貝格微分定理證明了在$\mathbb {R} ^{n}$中，勒贝格点是$\mu$几乎处处的。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.