Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義

對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程式為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!

；

其中， $\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數， $m\,\!$ 是粒子質量， $x\,\!$ 是粒子位置， $E\,\!$ 是能量， $\psi (x)\,\!$ 是波函數， $V(x)\,\!$ 是位勢，表達為

V(x)=\lambda \delta (x)\,\!

；

其中， $\delta (x)\,\!$ 是狄拉克Delta函數， $\lambda \,\!$ 是狄拉克Delta函數的強度。

導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域： $x<0\,\!$ 與 $x>0\,\!$ 。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程式的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!

，

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!

；

其中， $A_{r}\,\!$ 、 $A_{l}\,\!$ 、 $B_{r}\,\!$ 、 $B_{l}\,\!$ 都是必須由邊界條件決定的常數，下標 $r\,\!$ 與 $l\,\!$ 分別標記波函數往右或往左的方向。 $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!$ 是波數。

由於 $E>0\,\!$ ， $\psi _{L}\,\!$ 與 $\psi _{R}\,\!$ 都是行進波。這兩個波必須滿足在 $x=0\,\!$ 的邊界條件：

\psi _{L}=\psi _{R}\,\!

，

{\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!

。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在 $x=0\,\!$ 並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有 $-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$ 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程式。將薛丁格方程式積分於 $x=0\,\!$ 的一個非常小的鄰域：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!

；(1)

其中， $\epsilon \,\!$ 是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!

。(2)

在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!

(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，

\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!

。(4)

而在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的極限，

\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!

，(5)

\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!

。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在 $x=0\,\!$ ，

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!

。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!

，

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!

。

反射與透射

一個Delta位勢壘的反射係數 $R\,\!$ （用紅線表示）與透射係數 $T\,\!$ （用綠線表示）隨著能量 $E\,\!$ 的變化。在這裏，能量 $E>0\,\!$ 。能量的單位是 ${\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!$ 。古典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間， $x<0\,\!$ 或 $x>0\,\!$ 。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定 $A_{r}=1\,\!$ ， $A_{l}=r\,\!$ ， $B_{l}=0\,\!$ ， $B_{r}=t\,\!$ 。求算反射的機率幅 $r\,\!$ 與透射的機率幅 $t\,\!$ ：