Delta位势垒

在量子力学里，Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数，垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨，在这种位势的作用中，一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是，在被Delta位势垒散射的状况下，粒子的反射系数与透射系数。在许多量子力学的教科书里，这是一个常见的习题。

定义

对于一个Delta位势垒的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的行进波都以红色表示。

一个粒子独立于时间的薛定谔方程为

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!

；

其中， $\hbar \,\!$ 是约化普朗克常数， $m\,\!$ 是粒子质量， $x\,\!$ 是粒子位置， $E\,\!$ 是能量， $\psi (x)\,\!$ 是波函数， $V(x)\,\!$ 是位势，表达为

V(x)=\lambda \delta (x)\,\!

；

其中， $\delta (x)\,\!$ 是狄拉克Delta函数， $\lambda \,\!$ 是狄拉克Delta函数的强度。

导引

这位势垒将一维空间分为两个区域： $x<0\,\!$ 与 $x>0\,\!$ 。在任何一个区域内，位势为常数，薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加（参阅自由粒子）：

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!

，

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!

；

其中， $A_{r}\,\!$ 、 $A_{l}\,\!$ 、 $B_{r}\,\!$ 、 $B_{l}\,\!$ 都是必须由边界条件决定的常数，下标 $r\,\!$ 与 $l\,\!$ 分别标记波函数往右或往左的方向。 $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!$ 是波数。

由于 $E>0\,\!$ ， $\psi _{L}\,\!$ 与 $\psi _{R}\,\!$ 都是行进波。这两个波必须满足在 $x=0\,\!$ 的边界条件：

\psi _{L}=\psi _{R}\,\!

，

{\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!

。

特别注意第二个边界条件方程，波函数随位置的导数在 $x=0\,\!$ 并不是连续的，在位势垒两边的差额有 $-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$ 这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于 $x=0\,\!$ 的一个非常小的邻域：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!

；(1)

其中， $\epsilon \,\!$ 是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!

。(2)

在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的极限，这项目往著0去。

方程(1)左边是

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!

(3)

根据狄拉克Delta函数的定义，

\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!

。(4)

而在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的极限，

\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!

，(5)

\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!

。(6)

将这些结果(4)，(5)，(6)代入方程(3)，稍加编排，可以得到第二个边界条件方程：在 $x=0\,\!$ ，

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!

。

从这两个边界条件方程。稍加运算，可以得到以下方程：

A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!

，

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!

。

反射与透射

一个Delta位势垒的反射系数 $R\,\!$ （用红线表示）与透射系数 $T\,\!$ （用绿线表示）随着能量 $E\,\!$ 的变化。在这里，能量 $E>0\,\!$ 。能量的单位是 ${\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!$ 。经典力学的答案用虚线表示，量子力学的答案用实线表示。

由于能量是正值的，粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间， $x<0\,\!$ 或 $x>0\,\!$ 。可是，在Delta位势垒，粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒，粒子可能会被反射回去，或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定 $A_{r}=1\,\!$ ， $A_{l}=r\,\!$ ， $B_{l}=0\,\!$ ， $B_{r}=t\,\!$ 。求算反射的概率幅 $r\,\!$ 与透射的概率幅 $t\,\!$ ：