磁标势

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磁标势（英语：Magnetic scalar potential）是描述磁场性质的一个有用的辅助量，尤其是在永磁体中。

在一个单连通、没有自由电流的区域，有

$\nabla \times \mathbf {H} =0,$

这样，我们可以定义磁标势$\psi$为

$\mathbf {H} =-\nabla \psi .$

又因为

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot (\mathbf {H+M} )=0,$

并且

$\nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .$

这里，$\nabla \cdot \mathbf {M}$充当了磁场的“源”，看起来就像是$\nabla \cdot \mathbf {P}$在电场中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将

$\rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M}$

称为“束缚磁荷”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。

如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。

利用磁标势求解磁场

在静磁学里，描述在源电流四周的另外一个很有用的工具是磁标势。由于磁标势是一个标量，不是矢量，大多数时候，使用磁标势可以使得运算更加简便。但是，它只能使用在没有源电流的空间。注意到静磁学的两个基本方程为

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$ 、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ；

其中，$\mathbf {H}$ 是磁场强度（H场）。

假设电流密度 $\mathbf {J}$ 等于零，则 $\nabla \times \mathbf {H} =0$ ，H场是个保守场，必定存在一个函数 $\psi _{m}$ 满足

$\mathbf {H} =-\nabla \psi _{m}$ 。

称这函数为磁标势。在真空里或各向同性、线性、均匀的介电质里，则可将上述定义式代入高斯磁定律，稍加编排，表示为拉普拉斯方程的形式：

$\nabla ^{2}\psi _{m}=0$。

对于任意连续场 $\psi _{m}$ ，其梯度的旋度为零。这意味着磁标势场不能存在有任何源电流。但是，实际而言，假若容许不连续线的存在于磁标势场（不连续点可以拥有两种不同的数值），应用复分析，就可以计算源电流产生的磁场。这不连续线称为割线（line of cut）。当用磁标势来解析静磁学问题时，源电流必须置放于割线。

铁磁性物质的磁标势

在铁磁性物质或永久磁铁里，B场 $\mathbf {B}$ 、磁化强度 $\mathbf {M}$ 与H场 $\mathbf {H}$ 之间的关系比较复杂：

$\mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M}$ 。

应用高斯磁定律，

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot ({\mathbf {H} +\mathbf {M} })=0$ 。

立可得到

$\nabla ^{2}\psi _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M}$。

$\nabla \cdot \mathbf {M}$ 可以视为磁场的源电流，就好似 $\rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ 是静电学的束缚电荷一样。这样，类比束缚电荷，可以称呼 $\rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M}$ 为“束缚磁荷”。这样，束缚磁荷的帕松方程为

$\nabla ^{2}\psi _{m}=-\rho _{m}$。

这帕松方程的解答为

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{m}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$ 。

参考文献

• Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990. 
• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew. The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. 1964. ISBN 020102117XP. 
• Jackson, John David. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons. 1998. 
• Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X 
• Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235 
• Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4. 

相关条目

• 标量势
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