本条目中,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。
在物理学 里,电荷守恒定律 (law of charge conservation )是一种关于电荷 的守恒定律 。电荷守恒定律有两种版本,“弱版电荷守恒定律”(又称为“全域电荷守恒定律”)与“强版电荷守恒定律”(又称为“局域电荷守恒定律”)。[ 1] 弱版电荷守恒定律表明,整个宇宙 的总电荷量保持不变,不会随着时间的演进而改变。注意到这定律并没有禁止,在宇宙这端的某电荷突然不见,而在宇宙那端突然出现。强版电荷守恒定律明确地禁止这种可能。强版电荷守恒定律表明,在任意空间区域内电荷量的变化,等于流入这区域的电荷量减去流出这区域的电荷量。对于在区域内部的电荷与流入流出这区域的电荷,这些电荷的会计关系就是电荷守恒。
定量描述,强版定律的方程是一种连续方程 :
Q
(
t
2
)
=
Q
(
t
1
)
+
Q
I
N
−
Q
O
U
T
{\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+Q_{IN}-Q_{OUT}}
;
其中,
Q
(
t
)
{\displaystyle Q(t)}
是在时间
t
{\displaystyle t}
某设定体积内的电荷量,
Q
I
N
{\displaystyle Q_{IN}}
、
Q
O
U
T
{\displaystyle Q_{OUT}}
是在时间间隔
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle [t_{1},t_{2}]}
内分别流入与流出这设定体积的电荷量。
上述两种守恒定律建立于一个基础原则,即电荷 不能独自生成与湮灭。假设带正电粒子接触到带负电粒子,两个粒子带有电量相同,则因为这接触动作,两个粒子会变为中性,这物理行为是合理与被允许的。一个中子 ,也可以因𝛃衰变 ,生成带正电的质子 、带负电的电子 与中性的反中微子 。但是,任何粒子,不可能独自地改变电荷量。物理学明确地禁止这种物理行为。更仔细地说,像电子、质子一类的亚原子粒子会带有电荷,而这些亚原子粒子可以被生成或湮灭。在粒子物理学里,电荷守恒意味着,在那些生成带电粒子的基本粒子反应里,虽然会有带正电粒子或带负电粒子生成,在反应前与反应后,总电荷量不会改变;同样地,在那些湮灭带电粒子的基本粒子反应里,虽然会有带正电粒子或带负电粒子湮灭,在反应前与反应后,总电荷量绝不会改变;
虽然全域电荷守恒定律要求宇宙的总电荷量保持不变,到底总电荷量是多少仍旧是有待研究问题。大多数迹象显示宇宙的电荷量为零,[ 2] [ 3] 即正电荷量与负电荷量相同。
美国科学家与政治家富兰克林 于1747年与朋友通信:[ 4] [ 5]
在这里与欧洲,科学家已经发现,并且证实,电火是一种真实的元素或物质种类,不是因摩擦而产生,而是只能从搜集获得。
学术界归功富兰克林为这定律的创建者。“富兰克林电荷守恒定律”表明,在任何绝缘系统内,总电荷量不变。[ 7]
流入某体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的净电流为
I
=
−
∮
S
J
⋅
d
2
r
{\displaystyle I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
;
其中,
I
{\displaystyle I}
是电流,
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
是电流密度,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是包围体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的闭曲面,
d
2
r
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
是微小面矢量元素,垂直于
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
从体积内朝外指出。
应用散度定理 ,将这方程写为
I
=
−
∫
V
∇
⋅
J
d
3
r
{\displaystyle I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r}
。
总电荷量
Q
{\displaystyle Q}
与体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
内的电荷密度
ρ
{\displaystyle \rho }
的关系为
Q
=
∫
V
ρ
d
3
r
{\displaystyle Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r}
。
电荷守恒要求,流入体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的净电流,等于体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
内总电荷量
Q
{\displaystyle Q}
的变率:
d
Q
d
t
=
I
=
∫
V
∂
ρ
∂
t
d
3
r
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r}
。
所以,
∫
V
(
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
)
d
3
r
=
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ )\mathrm {d} ^{3}r=0}
。
对于任意体积
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
,上述方程都成立。所以,可以将被积式提取出来:[ 1]
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}
。
电荷守恒方程又称为电荷连续方程 。
在十九世纪中期,詹姆斯·麦克斯韦 发现安培定律 (原本形式)不能满足电荷守恒的要求。于是,他将安培定律的方程加以修正为麦克斯韦-安培方程 。由于这动作,麦克斯韦发觉包括这方程在内的麦克斯韦方程组 ,可以用来描述电磁波 的物理行为,并且推导出电磁波以光速 传播于自由空间 。因此,他正确地断定光波 是一种电磁波。更详尽细节,请参阅条目麦克斯韦方程组 。
确实无误,麦克斯韦方程组已概括了电荷守恒方程。思考麦克斯韦-安培方程 ,
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
;
其中,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是磁场 ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是磁常数 ,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
是电常数 ,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是电场 。
取这方程的散度 ,
0
≡
∇
⋅
(
∇
×
B
)
=
μ
0
∇
⋅
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
(
∇
⋅
E
)
∂
t
{\displaystyle 0\equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}
。
将高斯定律 (
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
)带入上式,立即得到电荷守恒定律,
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} =0}
。
在静电学 里,电势 乃是相对的,不是绝对的。假设在三维空间的电势为
ϕ
=
f
(
r
)
{\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}
,现将电势加上一个常数
c
{\displaystyle c}
,改为
ϕ
′
=
f
(
r
)
+
c
{\displaystyle \phi '=f(\mathbf {r} )+c}
,则电场不会改变,这性质称为规范不变性 。[ 8] 由于这性质,必需先设定在某参考位置的电势,在其它位置的电势才具有真实物理意义。因此,每一条方程只会涉及到相对电势,不会涉及到绝对电势。
电荷守恒与规范不变性 密切相关。这可以用一个思想实验 来论述。假设某种过程可以破坏电荷守恒(假若无法永久地破坏,至少可以暂时地破坏)。这过程会在空间里电势为
V
1
{\displaystyle V_{1}}
的某位置
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
生成电荷
q
{\displaystyle q}
,然后将这电荷迁移至在空间里电势为
V
2
{\displaystyle V_{2}}
的位置
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
,最后将这电荷湮灭。注意到这过程并没有破坏全域电荷守恒定律,只破坏了局域电荷守恒定律。
现在规定,在任意位置,生成电荷需要输入能量
W
{\displaystyle W}
,湮灭电荷会释出能量
W
{\displaystyle W}
。由于生成电荷或湮灭电荷的位置是任意位置,
W
{\displaystyle W}
不会与相对电势有关。
W
{\displaystyle W}
也不会与绝对电势有关。那么,整个过程会使得系统获得能量
W
+
q
V
1
−
q
V
2
−
W
{\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}
。但是,这样做会违反能量守恒。为了遵守能量守恒,必需要求局域电荷守恒。所以,由于规范不变性,电荷守恒定律成立。[ 9]
在电磁学 里,对电势与磁矢势 做规范变换 ,
ϕ
′
=
ϕ
−
∂
Λ
∂
t
{\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}
、
A
′
=
A
+
∇
Λ
{\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \Lambda }
;
其中,规范函数
Λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}
是任意标量场 。
新的电场
E
′
{\displaystyle \mathbf {E} '}
、磁场
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '}
分别为
E
′
=
−
∇
ϕ
′
−
∂
A
′
∂
t
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
=
E
{\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \phi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\mathbf {E} }
、
B
′
=
∇
×
A
′
=
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \mathbf {B} '=\nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
,
分别与旧的电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
、磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
相同。这性质称为规范不变性 。由于这性质,在规范变换下,麦克斯韦方程组的形式不变。[ 8]
根据诺特定理 ,电荷守恒可以理解为由于对称性而导致的后果。诺特定理表明,每一种守恒定律,必定有其伴随的物理对称性。伴随着电荷守恒的对称性是电磁场的规范不变性 。[ 10]
采用高斯单位制 ,张量 标记,爱因斯坦求和约定 ,思考电磁场的拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
,[ 8]
L
=
−
1
16
π
F
α
β
F
α
β
−
1
c
J
α
A
α
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
A
α
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-\ {\frac {1}{16\pi }}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\\end{aligned}}}
;
其中,
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是电磁张量 ,
c
{\displaystyle c}
是光速,
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
是四维电流密度 ,
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
是电磁四维势 。
现在,做一个微小变换
A
′
α
=
A
α
+
∂
α
Λ
{\displaystyle A'^{\alpha }=A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda }
;
其中,
Λ
(
x
α
)
{\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}
是规范函数。
新的拉格朗日密度
L
′
{\displaystyle {\mathcal {L}}'}
为
L
′
=
−
1
16
π
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
L
−
1
c
J
α
∂
α
Λ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=-\ {\frac {1}{16\pi }}[\partial _{\alpha }(A_{\beta }+\partial _{\beta }\Lambda )-\partial _{\beta }(A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda )]\ [\partial ^{\alpha }(A^{\beta }+\partial ^{\beta }\Lambda )-\partial ^{\beta }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )]-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&={\mathcal {L}}-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \\\end{aligned}}}
。
在这种规范变换下,拉格朗日密度不是不变量,但是作用量
I
=
∫
V
L
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{4}x}
是不变量:[ 11]
I
′
−
I
=
−
1
c
∫
V
J
α
∂
α
Λ
d
4
x
=
−
1
c
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
+
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \mathrm {d} ^{4}x=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x+\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
;
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是四维积分体积。
应用散度定理 ,四维体积积分
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x}
可以变为一个三维曲面积分。将
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
增大,使得表面不存在任何四维电流
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
,则这项目等于零。那么,
I
′
−
I
=
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}={\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
。
注意到
Λ
{\displaystyle \Lambda }
是任意函数,所以,假若作用量
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
是规范不变量,则必定导致
∂
α
J
α
=
0
{\displaystyle \partial ^{\alpha }J_{\alpha }=0}
。
采用高斯单位制 ,自旋1/2 粒子的旋量场 的狄拉克拉格朗日密度 为[ 12]
L
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }
;
其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是约化普朗克常数 ,
c
{\displaystyle c}
是光速 ,
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
是狄拉克矩阵 (Dirac matrix ),
ψ
{\displaystyle \psi }
是四维旋量 ,
ψ
¯
{\displaystyle {\overline {\psi }}}
是
ψ
{\displaystyle \psi }
的狄拉克伴随 (Dirac adjoint ),
m
{\displaystyle m}
是粒子质量。
对于全域规范变换,
ψ
′
=
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \psi '=\psi e^{i\theta }}
;
其中,
θ
{\displaystyle \theta }
是常数相移 。
在全局规范变换下,拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是不变量:
L
′
=
i
ℏ
c
ψ
′
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
′
−
m
c
2
ψ
′
¯
ψ
′
=
i
ℏ
c
ψ
¯
e
−
i
θ
γ
μ
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
−
m
c
2
ψ
¯
e
−
i
θ
ψ
e
i
θ
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
=
L
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=i\hbar c{\overline {\psi '}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi '-mc^{2}{\overline {\psi '}}\psi '\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })-mc^{2}{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\psi e^{i\theta }\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi \\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}
。
可是,对于局域规范变换,
θ
=
θ
(
x
μ
)
{\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}
不是常数。在局域规范变换下,由于
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
=
(
∂
μ
ψ
)
e
i
θ
+
i
(
∂
μ
θ
)
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}
,拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
不是不变量:
L
′
=
L
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
。
因此,必需添加额外项目,才能使
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
成为不变量。猜想新拉格朗日密度的形式为
L
1
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
;
其中,
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是新添加的四维矢量 场。
假设,对于局域规范变换,
A
μ
′
=
A
μ
+
∂
μ
Λ
{\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }
。那么,在局域规范变换下,
L
1
′
=
L
1
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
+
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
∂
μ
Λ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'_{1}={\mathcal {L}}_{1}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi +q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \partial _{\mu }\Lambda }
。
设定
Λ
=
−
ℏ
c
θ
/
q
{\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}
,则拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
成为规范不变量。但是四维矢量场
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的物理意义仍旧不清楚。
思考自旋 为1、质量为
m
{\displaystyle m}
的粒子的四维矢量场,其普罗卡拉格朗日密度 (Proca Lagrangian )为
L
P
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
+
m
2
c
2
8
π
ℏ
2
A
ν
A
ν
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }}
。
在局域规范变换下,这方程右手边第一个项目是不变量,但第二个项目不是不变量。假设粒子不具质量
m
=
0
{\displaystyle m=0}
,则可除去第二个项目。将这粒子不具质量的普罗卡拉格朗日密度与拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
综合在一起,所得到的拉格朗日密度
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
是规范不变量:
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
。
假设
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是电磁四维势 、四维电流密度
J
μ
{\displaystyle J_{\mu }}
是
J
μ
=
c
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
、电磁张量
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是
F
α
β
=
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}
,那么,
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
表示为
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
F
α
β
F
α
β
)
−
1
c
J
μ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta })-{\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }}
。
这方程右手边前面两个项目是描述电子 或正子 的狄拉克场的拉格朗日密度,后面两个项目则是以光子 为媒介的电磁场的拉格朗日密度。对于
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的拉格朗日方程 为麦克斯韦方程组 :
∂
μ
F
μ
ν
−
4
π
c
J
μ
=
0
{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=0}
。
规范不变性有很多可被检验的后果。例如,局域规范不变性要求光子 不具有质量。因此,假若做实验能够精确地证实光子不具有质量,这也会成为电荷守恒的强证据。[ 13]
可是,甚至当物理系统具有完全的规范不变性时,假若电荷从正常的三维空间漏入隐藏的额外维度 ,则仍旧会有可能发生电荷不守恒现象。[ 14] [ 15]
假若电荷不永远守恒,则可能会发生粒子衰变 。检验电荷守恒最好的实验方法就是寻找这些粒子衰变。至今为止,物理学者尚未能找到任何这类衰变。[ 16] 例如,对于电子衰变为中微子 与光子的反应,物理学者试着侦测这反应产生的高能光子:
e
→
ν
e
+
γ
{\displaystyle e\to \nu _{e}+\gamma }
平均寿命 大于4.6×1026 年(90% 置信水平 )。[ 17]
但是,有理论提出,即使电荷不永远守恒,这种生成高能光子的衰变反应也永远不会发生。[ 18] 当然,也有实验试着侦测不产生高能光子的衰变,或者一些比较不寻常的电荷破坏过程,例如,电子可能会自发变成正电子 、[ 19] 电子移入其它维度。最优良的实验值限为
e
→
{\displaystyle e\to }
任意粒子
平均寿命大于6.4×1024 年(68% 置信水平 )[ 20]
n
→
p
+
ν
+
ν
¯
{\displaystyle n\to p+\nu +{\bar {\nu }}}
对于所有中子衰变事件,电荷不守恒衰变的发生率低于8×10−27 (68% 置信水平 )[ 21]
电容器 -储存电荷的元件。
基尔霍夫电路定律 -应用电荷守恒于电路。
守恒定律与对称性 (Conservation Laws and Symmetry )
规范理论入门 (Introduction to Gauge Theory )-关于规范不变性与电荷守恒的进阶论述。
^ 1.0 1.1 Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. xiv, 213, 1998, ISBN 0-13-805326-X
^
S. Orito, M. Yoshimura. Can the Universe be Charged? . Physical Review Letters. 1985, 54 (22): 2457–2460. Bibcode:1985PhRvL..54.2457O . doi:10.1103/PhysRevLett.54.2457 . [永久失效链接 ]
^
E. Masso, F. Rota. Primordial helium production in a charged universe. Physics Letters B. 2002, 545 (3-4): 221–225. Bibcode:2002PhLB..545..221M . arXiv:astro-ph/0201248 . doi:10.1016/S0370-2693(02)02636-9 .
^ Heilbron, J.L. Electricity in the 17th and 18th centuries: a study of early Modern physics . University of California Press. 1979: 330 . ISBN 0-520-03478-3 .
^ Lemay, J.A. Leo. The Life of Benjamin Franklin, Volume 3: Soldier, Scientist, and Politician. University of Pennsylvania Press. 2008: pp. 67–70. ISBN 978-0-8122-4121-1 .
^ The Papers of Benjamin Franklin 3 . Yale University Press. 1961: 142 [2011-09-03 ] . (原始内容 存档于2011-09-29).
^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1 , Nelson, London: pp. 44, 51, 1951
^ 8.0 8.1 8.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 240–242, 598–600, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Perkins, Donald H. Introduction to high energy physics 4th. Cambridge University Press. 2000: pp. 75–77. ISBN 9780521621960 .
^ Bettini, Alessandro. Introduction to Elementary Particle Physics . UK: Cambridge University Press. 2008: 164 –165. ISBN 0521880211 .
^ Rohrlich, F. Classical charged particles 3rd. World Scientific. 2007: pp. 102–103. ISBN 9789812700049 .
^ Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles 2nd revised, WILEY-VCH: pp. 354–361, 2008, ISBN 978-3-527-40601-2
^
A.S. Goldhaber, M.M. Nieto. Photon and Graviton Mass Limits. Reviews of Modern Physics. 2010, 82 (1): 939–979. Bibcode:2010RvMP...82..939G . arXiv:0809.1003 . doi:10.1103/RevModPhys.82.939 . ; please read section II.C Conservation of Electric Charge
^
S.Y. Chu. Gauge-Invariant Charge Nonconserving Processes and the Solar Neutrino Puzzle . Modern Physics Letters A. 1996, 11 (28): 2251–2257. Bibcode:1996MPLA...11.2251C . doi:10.1142/S0217732396002241 .
^
S.L. Dubovsky, V.A. Rubakov, P.G. Tinyakov. Is the electric charge conserved in brane world?. Journal of High Energy Physics. 2000, August (8): 315–318. Bibcode:1979PhLB...84..315I . arXiv:hep-ph/0007179 . doi:10.1016/0370-2693(79)90048-0 .
^ Particle Data Group. Tests of Conservation Laws (PDF) . Journal of Physics G. May 2010, 37 (7A): 89–98 [2011-09-03 ] . Bibcode:2010JPhG...37g5021N . doi:10.1088/0954-3899/37/7A/075021 . (原始内容 (PDF) 存档于2011-05-31).
^ H.O. Back; et al. Search for electron decay mode e → γ + ν with prototype of Borexino detector . Physics Letters B. 2002, 525 (1-2): 29–40 [2011-09-03 ] . Bibcode:2002PhLB..525...29B . doi:10.1016/S0370-2693(01)01440-X . (原始内容存档 于2013-01-04).
^
L.B. Okun. Comments on Testing Charge Conservation and Pauli Exclusion Principle . Comments on Nuclear and Particle Physics. 1989, 19 (3): 99–116. [永久失效链接 ]
^
R.N. Mohapatra. Possible Nonconservation of Electric Charge . Physical Review Letters. 1987, 59 (14): 1510–1512. Bibcode:1987PhRvL..59.1510M . doi:10.1103/PhysRevLett.59.1510 . [永久失效链接 ]
^ P. Belli ; et al. Charge non-conservation restrictions from the nuclear levels excitation of 129 Xe induced by the electron's decay on the atomic shell . Physics Letters B. 1999, 465 (1-4): 315–322 [2011-09-03 ] . Bibcode:1999PhLB..465..315B . doi:10.1016/S0370-2693(99)01091-6 . (原始内容存档 于2013-01-04).
This is the most stringent of several limits given in Table 1 of this paper.
^
Norman, E.B.; Bahcall, J.N.; Goldhaber, M. Improved limit on charge conservation derived from 71 Ga solar neutrino experiments . Physical Review. 1996, D53 (7): 4086–4088. Bibcode:1996PhRvD..53.4086N . doi:10.1103/PhysRevD.53.4086 . [永久失效链接 ]