本條目中,向量 與標量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。
在物理學 裏,電荷守恆定律 (law of charge conservation )是一種關於電荷 的守恆定律 。電荷守恆定律有兩種版本,「弱版電荷守恆定律」(又稱為「全域電荷守恆定律」)與「強版電荷守恆定律」(又稱為「局域電荷守恆定律」)。[ 1] 弱版電荷守恆定律表明,整個宇宙 的總電荷量保持不變,不會隨著時間的演進而改變。注意到這定律並沒有禁止,在宇宙這端的某電荷突然不見,而在宇宙那端突然出現。強版電荷守恆定律明確地禁止這種可能。強版電荷守恆定律表明,在任意空間區域內電荷量的變化,等於流入這區域的電荷量減去流出這區域的電荷量。對於在區域內部的電荷與流入流出這區域的電荷,這些電荷的會計關係就是電荷守恆。
定量描述,強版定律的方程式是一種連續方程式 :
Q
(
t
2
)
=
Q
(
t
1
)
+
Q
I
N
−
Q
O
U
T
{\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+Q_{IN}-Q_{OUT}}
;
其中,
Q
(
t
)
{\displaystyle Q(t)}
是在時間
t
{\displaystyle t}
某設定體積內的電荷量,
Q
I
N
{\displaystyle Q_{IN}}
、
Q
O
U
T
{\displaystyle Q_{OUT}}
是在時間間隔
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle [t_{1},t_{2}]}
內分別流入與流出這設定體積的電荷量。
上述兩種守恆定律建立於一個基礎原則,即電荷 不能獨自生成與湮滅。假設帶正電粒子接觸到帶負電粒子,兩個粒子帶有電量相同,則因為這接觸動作,兩個粒子會變為中性,這物理行為是合理與被允許的。一個中子 ,也可以因𝛃衰變 ,生成帶正電的質子 、帶負電的電子 與中性的反微中子 。但是,任何粒子,不可能獨自地改變電荷量。物理學明確地禁止這種物理行為。更仔細地說,像電子、質子一類的亞原子粒子會帶有電荷,而這些亞原子粒子可以被生成或湮滅。在粒子物理學裏,電荷守恆意味著,在那些生成帶電粒子的基本粒子反應裏,雖然會有帶正電粒子或帶負電粒子生成,在反應前與反應後,總電荷量不會改變;同樣地,在那些湮滅帶電粒子的基本粒子反應裏,雖然會有帶正電粒子或帶負電粒子湮滅,在反應前與反應後,總電荷量絕不會改變;
雖然全域電荷守恆定律要求宇宙的總電荷量保持不變,到底總電荷量是多少仍舊是有待研究問題。大多數跡象顯示宇宙的電荷量為零,[ 2] [ 3] 即正電荷量與負電荷量相同。
美國科學家與政治家富蘭克林 於1747年與朋友通信:[ 4] [ 5]
在這裡與歐洲,科學家已經發現,並且證實,電火是一種真實的元素或物質種類,不是因摩擦而產生,而是只能從搜集獲得。
學術界歸功富蘭克林為這定律的創建者。「富蘭克林電荷守恆定律」表明,在任何絕緣系統內,總電荷量不變。[ 7]
流入某體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的淨電流為
I
=
−
∮
S
J
⋅
d
2
r
{\displaystyle I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
;
其中,
I
{\displaystyle I}
是電流,
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
是電流密度,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是包圍體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的閉曲面,
d
2
r
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
是微小面向量元素,垂直於
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
從體積內朝外指出。
應用散度定理 ,將這方程式寫為
I
=
−
∫
V
∇
⋅
J
d
3
r
{\displaystyle I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r}
。
總電荷量
Q
{\displaystyle Q}
與體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
內的電荷密度
ρ
{\displaystyle \rho }
的關係為
Q
=
∫
V
ρ
d
3
r
{\displaystyle Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r}
。
電荷守恆要求,流入體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的淨電流,等於體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
內總電荷量
Q
{\displaystyle Q}
的變率:
d
Q
d
t
=
I
=
∫
V
∂
ρ
∂
t
d
3
r
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r}
。
所以,
∫
V
(
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
)
d
3
r
=
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ )\mathrm {d} ^{3}r=0}
。
對於任意體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
,上述方程式都成立。所以,可以將被積式提取出來:[ 1]
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}
。
電荷守恆方程式又稱為電荷連續方程式 。
在十九世紀中期,詹姆斯·馬克士威 發現安培定律 (原本形式)不能滿足電荷守恆的要求。於是,他將安培定律的方程式加以修正為馬克士威-安培方程式 。由於這動作,馬克士威發覺包括這方程式在內的馬克士威方程組 ,可以用來描述電磁波 的物理行為,並且推導出電磁波以光速 傳播於自由空間 。因此,他正確地斷定光波 是一種電磁波。更詳盡細節,請參閱條目馬克士威方程組 。
確實無誤,馬克士威方程組已概括了電荷守恆方程式。思考馬克士威-安培方程式 ,
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
;
其中,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是磁場 ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是磁常數 ,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
是電常數 ,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是電場 。
取這方程式的散度 ,
0
≡
∇
⋅
(
∇
×
B
)
=
μ
0
∇
⋅
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
(
∇
⋅
E
)
∂
t
{\displaystyle 0\equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}
。
將高斯定律 (
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
)帶入上式,立即得到電荷守恆定律,
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
J
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} =0}
。
在靜電學 裏,電勢 乃是相對的,不是絕對的。假設在三維空間的電勢為
ϕ
=
f
(
r
)
{\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}
,現將電勢加上一個常數
c
{\displaystyle c}
,改為
ϕ
′
=
f
(
r
)
+
c
{\displaystyle \phi '=f(\mathbf {r} )+c}
,則電場不會改變,這性質稱為規範不變性 。[ 8] 由於這性質,必需先設定在某參考位置的電勢,在其它位置的電勢才具有真實物理意義。因此,每一條方程式只會涉及到相對電勢,不會涉及到絕對電勢。
電荷守恆與規範不變性 密切相關。這可以用一個思想實驗 來論述。假設某種過程可以破壞電荷守恆(假若無法永久地破壞,至少可以暫時地破壞)。這過程會在空間裏電勢為
V
1
{\displaystyle V_{1}}
的某位置
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
生成電荷
q
{\displaystyle q}
,然後將這電荷遷移至在空間裏電勢為
V
2
{\displaystyle V_{2}}
的位置
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
,最後將這電荷湮滅。注意到這過程並沒有破壞全域電荷守恆定律,只破壞了局域電荷守恆定律。
現在規定,在任意位置,生成電荷需要輸入能量
W
{\displaystyle W}
,湮滅電荷會釋出能量
W
{\displaystyle W}
。由於生成電荷或湮滅電荷的位置是任意位置,
W
{\displaystyle W}
不會與相對電勢有關。
W
{\displaystyle W}
也不會與絕對電勢有關。那麼,整個過程會使得系統獲得能量
W
+
q
V
1
−
q
V
2
−
W
{\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}
。但是,這樣做會違反能量守恆。為了遵守能量守恆,必需要求局域電荷守恆。所以,由於規範不變性,電荷守恆定律成立。[ 9]
在電磁學 裏,對電勢與磁向量勢 做規範變換 ,
ϕ
′
=
ϕ
−
∂
Λ
∂
t
{\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}
、
A
′
=
A
+
∇
Λ
{\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \Lambda }
;
其中,規範函數
Λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}
是任意純量場 。
新的電場
E
′
{\displaystyle \mathbf {E} '}
、磁場
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '}
分別為
E
′
=
−
∇
ϕ
′
−
∂
A
′
∂
t
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
=
E
{\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \phi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\mathbf {E} }
、
B
′
=
∇
×
A
′
=
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \mathbf {B} '=\nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
,
分別與舊的電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
、磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
相同。這性質稱為規範不變性 。由於這性質,在規範變換下,馬克士威方程組的形式不變。[ 8]
根據諾特定理 ,電荷守恆可以理解為由於對稱性而導致的後果。諾特定理表明,每一種守恆定律,必定有其伴隨的物理對稱性。伴隨著電荷守恆的對稱性是電磁場的規範不變性 。[ 10]
採用高斯單位制 ,張量 標記,愛因斯坦求和約定 ,思考電磁場的拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
,[ 8]
L
=
−
1
16
π
F
α
β
F
α
β
−
1
c
J
α
A
α
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
A
α
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-\ {\frac {1}{16\pi }}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\\end{aligned}}}
;
其中,
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是電磁張量 ,
c
{\displaystyle c}
是光速,
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
是四維電流密度 ,
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
是電磁四維勢 。
現在,做一個微小變換
A
′
α
=
A
α
+
∂
α
Λ
{\displaystyle A'^{\alpha }=A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda }
;
其中,
Λ
(
x
α
)
{\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}
是規範函數。
新的拉格朗日密度
L
′
{\displaystyle {\mathcal {L}}'}
為
L
′
=
−
1
16
π
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
L
−
1
c
J
α
∂
α
Λ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=-\ {\frac {1}{16\pi }}[\partial _{\alpha }(A_{\beta }+\partial _{\beta }\Lambda )-\partial _{\beta }(A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda )]\ [\partial ^{\alpha }(A^{\beta }+\partial ^{\beta }\Lambda )-\partial ^{\beta }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )]-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&={\mathcal {L}}-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \\\end{aligned}}}
。
在這種規範變換下,拉格朗日密度不是不變量,但是作用量
I
=
∫
V
L
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{4}x}
是不變量:[ 11]
I
′
−
I
=
−
1
c
∫
V
J
α
∂
α
Λ
d
4
x
=
−
1
c
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
+
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \mathrm {d} ^{4}x=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x+\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
;
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是四維積分體積。
應用散度定理 ,四維體積積分
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x}
可以變為一個三維曲面積分。將
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
增大,使得表面不存在任何四維電流
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
,則這項目等於零。那麼,
I
′
−
I
=
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}={\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
。
注意到
Λ
{\displaystyle \Lambda }
是任意函數,所以,假若作用量
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
是規範不變量,則必定導致
∂
α
J
α
=
0
{\displaystyle \partial ^{\alpha }J_{\alpha }=0}
。
採用高斯單位制 ,自旋1/2 粒子的旋量場 的狄拉克拉格朗日密度 為[ 12]
L
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }
;
其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 ,
c
{\displaystyle c}
是光速 ,
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
是狄拉克矩陣 (Dirac matrix ),
ψ
{\displaystyle \psi }
是四維旋量 ,
ψ
¯
{\displaystyle {\overline {\psi }}}
是
ψ
{\displaystyle \psi }
的狄拉克伴隨 (Dirac adjoint ),
m
{\displaystyle m}
是粒子質量。
對於全域規範變換,
ψ
′
=
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \psi '=\psi e^{i\theta }}
;
其中,
θ
{\displaystyle \theta }
是常數相移 。
在全局規範變換下,拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是不變量:
L
′
=
i
ℏ
c
ψ
′
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
′
−
m
c
2
ψ
′
¯
ψ
′
=
i
ℏ
c
ψ
¯
e
−
i
θ
γ
μ
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
−
m
c
2
ψ
¯
e
−
i
θ
ψ
e
i
θ
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
=
L
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=i\hbar c{\overline {\psi '}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi '-mc^{2}{\overline {\psi '}}\psi '\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })-mc^{2}{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\psi e^{i\theta }\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi \\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}
。
可是,對於局域規範變換,
θ
=
θ
(
x
μ
)
{\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}
不是常數。在局域規範變換下,由於
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
=
(
∂
μ
ψ
)
e
i
θ
+
i
(
∂
μ
θ
)
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}
,拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
不是不變量:
L
′
=
L
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
。
因此,必需添加額外項目,才能使
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
成為不變量。猜想新拉格朗日密度的形式為
L
1
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
;
其中,
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是新添加的四維向量 場。
假設,對於局域規範變換,
A
μ
′
=
A
μ
+
∂
μ
Λ
{\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }
。那麼,在局域規範變換下,
L
1
′
=
L
1
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
+
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
∂
μ
Λ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'_{1}={\mathcal {L}}_{1}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi +q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \partial _{\mu }\Lambda }
。
設定
Λ
=
−
ℏ
c
θ
/
q
{\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}
,則拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
成為規範不變量。但是四維向量場
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的物理意義仍舊不清楚。
思考自旋 為1、質量為
m
{\displaystyle m}
的粒子的四維向量場,其普羅卡拉格朗日密度 (Proca Lagrangian )為
L
P
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
+
m
2
c
2
8
π
ℏ
2
A
ν
A
ν
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }}
。
在局域規範變換下,這方程式右手邊第一個項目是不變量,但第二個項目不是不變量。假設粒子不具質量
m
=
0
{\displaystyle m=0}
,則可除去第二個項目。將這粒子不具質量的普羅卡拉格朗日密度與拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
綜合在一起,所得到的拉格朗日密度
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
是規範不變量:
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
。
假設
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是電磁四維勢 、四維電流密度
J
μ
{\displaystyle J_{\mu }}
是
J
μ
=
c
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
、電磁張量
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是
F
α
β
=
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}
,那麼,
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
表示為
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
F
α
β
F
α
β
)
−
1
c
J
μ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta })-{\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }}
。
這方程式右手邊前面兩個項目是描述電子 或正子 的狄拉克場的拉格朗日密度,後面兩個項目則是以光子 為媒介的電磁場的拉格朗日密度。對於
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的拉格朗日方程式 為馬克士威方程組 :
∂
μ
F
μ
ν
−
4
π
c
J
μ
=
0
{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=0}
。
規範不變性有很多可被檢驗的後果。例如,局域規範不變性要求光子 不具有質量。因此,假若做實驗能夠精確地證實光子不具有質量,這也會成為電荷守恆的強證據。[ 13]
可是,甚至當物理系統具有完全的規範不變性時,假若電荷從正常的三維空間漏入隱藏的額外維度 ,則仍舊會有可能發生電荷不守恆現象。[ 14] [ 15]
假若電荷不永遠守恆,則可能會發生粒子衰變 。檢驗電荷守恆最好的實驗方法就是尋找這些粒子衰變。至今為止,物理學者尚未能找到任何這類衰變。[ 16] 例如,對於電子衰變為微中子 與光子的反應,物理學者試著偵測這反應產生的高能光子:
e
→
ν
e
+
γ
{\displaystyle e\to \nu _{e}+\gamma }
平均壽命 大於4.6×1026 年(90% 置信水平 )。[ 17]
但是,有理論提出,即使電荷不永遠守恆,這種生成高能光子的衰變反應也永遠不會發生。[ 18] 當然,也有實驗試著偵測不產生高能光子的衰變,或者一些比較不尋常的電荷破壞過程,例如,電子可能會自發變成正電子 、[ 19] 電子移入其它維度。最優良的實驗值限為
e
→
{\displaystyle e\to }
任意粒子
平均壽命大於6.4×1024 年(68% 置信水平 )[ 20]
n
→
p
+
ν
+
ν
¯
{\displaystyle n\to p+\nu +{\bar {\nu }}}
對於所有中子衰變事件,電荷不守恆衰變的發生率低於8×10−27 (68% 置信水平 )[ 21]
電容器 -儲存電荷的元件。
克希荷夫電路定律 -應用電荷守恆於電路。
守恆定律與對稱性 (Conservation Laws and Symmetry )
規範理論入門 (Introduction to Gauge Theory )-關於規範不變性與電荷守恆的進階論述。
^ 1.0 1.1 Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. xiv, 213, 1998, ISBN 0-13-805326-X
^
S. Orito, M. Yoshimura. Can the Universe be Charged? . Physical Review Letters. 1985, 54 (22): 2457–2460. Bibcode:1985PhRvL..54.2457O . doi:10.1103/PhysRevLett.54.2457 . [永久失效連結 ]
^
E. Masso, F. Rota. Primordial helium production in a charged universe. Physics Letters B. 2002, 545 (3-4): 221–225. Bibcode:2002PhLB..545..221M . arXiv:astro-ph/0201248 . doi:10.1016/S0370-2693(02)02636-9 .
^ Heilbron, J.L. Electricity in the 17th and 18th centuries: a study of early Modern physics . University of California Press. 1979: 330 . ISBN 0-520-03478-3 .
^ Lemay, J.A. Leo. The Life of Benjamin Franklin, Volume 3: Soldier, Scientist, and Politician. University of Pennsylvania Press. 2008: pp. 67–70. ISBN 978-0-8122-4121-1 .
^ The Papers of Benjamin Franklin 3 . Yale University Press. 1961: 142 [2011-09-03 ] . (原始內容 存檔於2011-09-29).
^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1 , Nelson, London: pp. 44, 51, 1951
^ 8.0 8.1 8.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 240–242, 598–600, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Perkins, Donald H. Introduction to high energy physics 4th. Cambridge University Press. 2000: pp. 75–77. ISBN 9780521621960 .
^ Bettini, Alessandro. Introduction to Elementary Particle Physics . UK: Cambridge University Press. 2008: 164 –165. ISBN 0521880211 .
^ Rohrlich, F. Classical charged particles 3rd. World Scientific. 2007: pp. 102–103. ISBN 9789812700049 .
^ Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles 2nd revised, WILEY-VCH: pp. 354–361, 2008, ISBN 978-3-527-40601-2
^
A.S. Goldhaber, M.M. Nieto. Photon and Graviton Mass Limits. Reviews of Modern Physics. 2010, 82 (1): 939–979. Bibcode:2010RvMP...82..939G . arXiv:0809.1003 . doi:10.1103/RevModPhys.82.939 . ; please read section II.C Conservation of Electric Charge
^
S.Y. Chu. Gauge-Invariant Charge Nonconserving Processes and the Solar Neutrino Puzzle . Modern Physics Letters A. 1996, 11 (28): 2251–2257. Bibcode:1996MPLA...11.2251C . doi:10.1142/S0217732396002241 .
^
S.L. Dubovsky, V.A. Rubakov, P.G. Tinyakov. Is the electric charge conserved in brane world?. Journal of High Energy Physics. 2000, August (8): 315–318. Bibcode:1979PhLB...84..315I . arXiv:hep-ph/0007179 . doi:10.1016/0370-2693(79)90048-0 .
^ Particle Data Group. Tests of Conservation Laws (PDF) . Journal of Physics G. May 2010, 37 (7A): 89–98 [2011-09-03 ] . Bibcode:2010JPhG...37g5021N . doi:10.1088/0954-3899/37/7A/075021 . (原始內容 (PDF) 存檔於2011-05-31).
^ H.O. Back; et al. Search for electron decay mode e → γ + ν with prototype of Borexino detector . Physics Letters B. 2002, 525 (1-2): 29–40 [2011-09-03 ] . Bibcode:2002PhLB..525...29B . doi:10.1016/S0370-2693(01)01440-X . (原始內容存檔 於2013-01-04).
^
L.B. Okun. Comments on Testing Charge Conservation and Pauli Exclusion Principle . Comments on Nuclear and Particle Physics. 1989, 19 (3): 99–116. [永久失效連結 ]
^
R.N. Mohapatra. Possible Nonconservation of Electric Charge . Physical Review Letters. 1987, 59 (14): 1510–1512. Bibcode:1987PhRvL..59.1510M . doi:10.1103/PhysRevLett.59.1510 . [永久失效連結 ]
^ P. Belli ; et al. Charge non-conservation restrictions from the nuclear levels excitation of 129 Xe induced by the electron's decay on the atomic shell . Physics Letters B. 1999, 465 (1-4): 315–322 [2011-09-03 ] . Bibcode:1999PhLB..465..315B . doi:10.1016/S0370-2693(99)01091-6 . (原始內容存檔 於2013-01-04).
This is the most stringent of several limits given in Table 1 of this paper.
^
Norman, E.B.; Bahcall, J.N.; Goldhaber, M. Improved limit on charge conservation derived from 71 Ga solar neutrino experiments . Physical Review. 1996, D53 (7): 4086–4088. Bibcode:1996PhRvD..53.4086N . doi:10.1103/PhysRevD.53.4086 . [永久失效連結 ]