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因式定理

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因式定理（英语：Factor theorem）是代数学中关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊情形^[1]。

该定理指出，一个多项式 $f(x)$ 有一个因式 $(ax-b)$ 当且仅当 $f\left({\frac {b}{a}}\right)=0$ ^[2]。

多项式的因式分解

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下^[3]：

先设法找出多项式 $f$ 的一个零点 $a$ 。
利用因式定理确认 $(x-a)$ 是多项式 $f(x)$ 的因式。
利用长除法计算多项式 $g(x)={\frac {f(x)}{x-a}}$ 。
$f(x)=0$ 中，所有满足 $x\neq a$ 条件的根 $x$ 都是方程式 $g(x)=0$ 的根。因为 $g(x)$ 的多项式阶数（英语：Degree of a polynomial）较 $f(x)$ 要小。因此要找出多项式 $g$ 的零点可能会比较简单。
欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R能使此方程式成立,则被除式=(商式)(除式)+余式或被除式/除式=商式+余式/除式。

相关条目

参考资料

^ Sullivan, Michael, Algebra and Trigonometry, Prentice Hall: 381, 1996, ISBN 0-13-370149-2 .
^ Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India): 119, ISBN 978-81-317-2816-1 .
^ Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications: 142, ISBN 81-7008-629-9 .

基本乘法公式及恒等式（因式分解）

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!

二项式定理

和与差的平方	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
和与差的立方	$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$

多项式定理

三数和平方	$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$

平方和	$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
平方差	$a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$
立方和和立方差	$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})\,\!$

等幂和差逆定理

a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

对称多项式

a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}+3(a+b+c)(-ab-bc-ca)+3abc\,\!

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