立方和

立方和的簡單圖解

立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)$

立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。

驗證

主驗證

驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：

$a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!$

然後代入：

$a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

透過因式分解，可得：

$a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

這樣便可驗證：$a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

和立方驗證

透過和立方可驗證立方和的原理：

$(x+y)^{3}\,\!$

$=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!$

那即是只要減去$3x^{2}y$及$3xy^{2}$便可得到立方和，可設：

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

右邊的方程 $=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

運用因式分解的方法：

$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

這樣便可驗證出：$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

幾何驗證

圖象化$a^{3}+b^{3}$

透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。 根據右圖，設兩個立方，總和為：

$x^{3}+y^{3}\,\!$

把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

$(x+y)^{3}\,\!$

要得到$x^{3}+y^{3}$，可使用$(x+y)^{3}$的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

• $x\times y\times (x+y)$
• $x\times (x+y)\times y$
• $(x+y)\times y\times x$

把三個部分加在一起，便得：

$=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!$

$=3xy(x+y)\,\!$

之後，把$(x+y)^{3}$減去它，便得： $=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$ 上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$(x+y)^{2}$可透過和平方公式，得到：

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

這樣便可證明$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

反驗證

透過$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$也可反驗證立方和。

$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+b^{3}\,\!$

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

x)	$+a^{2}$	$-ab$	$+b^{2}$
$+a$	$+a^{3}$	$-a^{2}b$	$+ab^{2}$
$+b$	$+a^{2}b$	$-ab^{2}$	$+b^{3}$

這樣便可證明$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

立方差

立方差也可以使用立方和來驗證，例如：

$125u^{3}-343v^{3}\,\!$

把兩個數項都轉為立方數：

$=(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!$

運用負正得負，可得：

$=(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!$

然後運用立方和，可得：

$=\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]$

$=(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!$

這個方法更可驗證到立方差的公式是$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

兩組立方和的數

有些整數可以有兩個立方和組合， 而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：

$1729=1^{3}+12^{3}\,\!$

$1729=9^{3}+10^{3}\,\!$

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

$4104=9^{3}+15^{3}\,\!$

$4104=2^{3}+16^{3}\,\!$

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

• 幾何學
• 工程學