对数积分

对数积分 $\operatorname {li} (x)$ 是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。

积分表示法

对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数 $x\neq 1$ 都有定义：

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}

在这里，ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点，当x > 1时，这个积分只能用柯西主值的概念来解释：

\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)

由于这个积分在x趋近于1时，值会趋近于负无穷大，有些数学家为了避免麻烦，常会选择另外一个相似的定义，欧拉对数积分定义为：

\operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)

或

\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}

函数li(x)有一个正根，它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

\operatorname {li} (2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151

其中 $\Gamma \left(a,x\right)$ 是不完全伽玛函数。

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

{\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x))

其中 $x>1$ 。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法：

\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{for }}u\neq 0

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数，是：

\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\;2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}

当x → ∞，函数有以下的渐进表现：

\operatorname {li} (x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)

其中 ${\mathcal {O}}$ 是大O符号。完整的渐近展开式为：

\operatorname {li} (x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}

或

{\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots

注意，作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，素数定理表明：

\pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）