對數積分

對數積分 $\operatorname {li} (x)$ 是一個特殊函數。它出現在物理學的問題中，在數論中也有重要性，主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。

積分表示法

對數積分有一個積分的表示法，對所有的正實數 $x\neq 1$ 都有定義：

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}

在這裏，ln表示自然對數。函數1/ln (t)在t = 1處有一個奇異點，當x > 1時，這個積分只能用柯西主值的概念來解釋：

\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)

由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，歐拉對數積分定義為：

\operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)

或

\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}

函數li(x)有一個正根，它出現在x ≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數。

\operatorname {li} (2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151

其中 $\Gamma \left(a,x\right)$ 是不完全伽瑪函數。

函數li(x)與指數積分Ei(x)有以下的關係：

{\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x))

其中 $x>1$ 。這個等式提供了li(x)的一個級數表示法：

\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{for }}u\neq 0

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數。一個收斂得更快的級數，是：

\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\;2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}

當x → ∞，函數有以下的漸進表現：

\operatorname {li} (x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)

其中 ${\mathcal {O}}$ 是大O符號。完整的漸近展開式為：

\operatorname {li} (x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}

或

{\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots

注意，作為漸近展開式，這個級數是發散的：只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分的漸近展開式直接推出。

對數積分在數論中十分重要，出現在小於某個整數的質數個數的估計中。例如，質數定理表明：

\pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)

其中π(x)是小於或等於x的質數的個數。

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）