高斯圆问题

数学中，高斯圆问题（英语：Gauss circle problem）问以原点为中心，$r$为半径的圆内，有多少个整数点。答案与圆的面积相近，因此，真正的问题是如何准确地描述点数与面积的差异。问题得名自数学家卡尔·弗里德里希·高斯。

问题

考虑$\mathbb {R} ^{2}$中以原点为中心和以$r\geq 0$为半径的一个圆。高斯圆问题询问该圆中有多少个点$(m,n)$使$m$和$n$都是整数。由于在笛卡尔坐标系中，这个圆的方程式是$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，问题等价于询问有多少对整数$m$和$n$使得

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

以$N(r)$表示输入为$r$时的答案。以下第一行先列出$r$由$0$至$12$时，$N(r)$的值，第二行列出$\pi r^{2}$四舍五入到最接近的整数，以作比较：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS数列A000328）

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS数列A075726）

解决方案和猜想的上下界

$N(r)$大概是$\pi r^{2}$ ，半径范围内的区域$r$ 。这是因为平均而言，每个单位正方形包含一个格子点。因此，圆中格子点的实际数量大约等于其面积， $\pi r^{2}$ 。因此，应该预期

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

对于某些错误项$E(r)$具有相对较小的绝对值。找到正确的上限$\mid E(r)\mid$因此是问题采取的形式。注意$r$不必是整数。后$N(4)=49$一个有$N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$在这些地方$E(r)$之后它减少（以$2\pi r$ ），直到下一次增加为止。

高斯设法证明

$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

谢尔品斯基将指数改进至$2/3$，以大O符号表示，即证明$|E(r)|=O(r^{2/3})$，约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指数为$37/56$的结果（此数略小于$2/3$）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指数为$13/20$与$24/37$的上界。

下界方面，哈代和Landau分别独立证明

$|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

其中用到小o表示。据推测，正确的界线是

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

设$E(r)\leq Cr^{t}$总成立，则关于$t$的最小可能值$t_{0}$，目前所知的结果是

${\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,$

其中下界是1915年Hardy和Landau所证，上界于2000年由马丁·赫克斯利证明。

确切形式

$N(r)$的值可以由几个形式给出，例如以下取整函数表示成以下和式：

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

这是雅可比二平方和定理的结果，该定理来自雅可比三重积。

如果将平方和函数$r_{2}(n)$定义为将自然数$n$写为两个整数平方之和的方法数，则$r_{2}(n)/4$是一个积性函数，且可写出较简单的和式：

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)$

Hardy首次发现了以下的最新成果：

$N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

其中$J_{1}$表示第一种阶数为1的贝塞尔函数。

概论

尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数，但没有理由不考虑其他形状，例如圆锥形。的确，狄利克雷（Dirichlet）的除数问题是用矩形双曲线替换圆的等价问题。同样，可以将问题从二维扩展到更高的维度，并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一，则可能会增加问题中出现的指数，从平方到立方，甚至更高次方。

原始圆问题

另一个概括是计算互质整数解数量$m,n$的不等式

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

此问题称为原始圆问题，因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量$V(r)$然后的值$V(r)$为了$r$取小整数值是

0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的数列A175341）

使用与普通的高斯圆问题相同的方法，以及两个整数互质的机率为$6/\pi ^{2}$，容易证明

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

与普通的圆问题一样，原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确，目前最著名的指数是$221/304+\varepsilon$。在不假设黎曼猜想正确的情况下，最著名的上限是

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

其中$c$为正常数 。 特别是，目前不假设黎曼猜想正确的情况下，对于任何$\varepsilon >0$，$1-\varepsilon$的误差项没有限制。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Gauss's circle problem. MathWorld.