极向–环向分解

在向量分析中，极向–环向分解（英文：poloidal–toroidal decomposition）是亥姆霍兹分解的一个受限制的形式，常用于螺线向量场在球坐标系下的分析，如磁场和不可压缩流体等。考虑一个三维向量场F满足

$\nabla \cdot \mathbf {F} =0,$

可以被表示为一个轴矢量场（toroidal vector field）和一个极矢量场（poloidal vector field）的和：

$\mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} =\nabla \times \Psi \mathbf {r} +\nabla \times (\nabla \times \Phi \mathbf {r} ),$

其中$\mathbf {r}$是球坐标$(r,\theta ,\phi )$中的径向矢量，纵场$\mathbf {T}$为

$\mathbf {T} =\nabla \times \Psi \mathbf {r}$

$\Psi (r,\theta ,\phi )$为一标量场，[2]横场$\mathbf {P}$为

$\mathbf {P} =\nabla \times \nabla \times \Phi \mathbf {r}$

$\Phi (r,\theta ,\phi )$为一标量场。这一向量分解法是对称的，因为纵场的旋度是横场，而横场的旋度是纵场。纵场与球心在原点的球面相切

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0$,

而横场的旋度同样地与这些球面相切

$\mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0$.

若标量场$\Psi$和$\Phi$的平均值在任意半径为$r$的球面上都等于零，则这一分解方式是唯一的。

另见

• Toroidal and poloidal

参考资料

• Hydrodynamic and hydromagnetic stability （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Chandrasekhar, Subrahmanyan; International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961, p. 622.
• Decomposition of solenoidal fields into poloidal fields, toroidal fields and the mean flow. Applications to the boussinesq-equations, Schmitt, B. J. and von Wahl, W; in The Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods, pp. 291–305; Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin/ Heidelberg, Vol. 1530/ 1992.
• Anelastic Magnetohydrodynamic Equations for Modeling Solar and Stellar Convection Zones （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lantz, S. R. and Fan, Y.; The Astrophysical Journal Supplement Series, Volume 121, Issue 1, Mar. 1999, pp. 247–264.
• Plane poloidal-toroidal decomposition of doubly periodic vector fields: Part 1. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Fields with divergence （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Part 2. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Stokes equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）. G. D. McBain. ANZIAM J. （页面存档备份，存于互联网档案馆） 47 (2005) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Backus, George, Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling, Reviews in Geophysics, 1986, 24: 75–109, doi:10.1029/RG024i001p00075 .
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine, Foundations of Geomagnetism, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-41006-1 .