討論:狹義相對論

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—的的喀喀湖上的幽靈(talk to Louer) 2009年3月28日 (六) 01:26 (UTC)

狹義相對論的幾何意義

狹義相對論的一些結論也可以通過幾何方式直觀地推導出。

虛數坐標系下的三角函數

首先，我們引入虛數坐標系下的三角函數。

如圖，建立直角坐標系。對三點A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₁)，C(x₂,ict₂)，令Δx=x₂-x₁，Δt=t₂-t₁，可定義： $\sin \theta ={\frac {ic(t_{2}-t_{1})}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}-(ct_{2}-ct_{1})^{2}}}}={\frac {ic\Delta t}{\sqrt {\Delta x^{2}-\Delta t^{2}c^{2}}}}$ $\cos \theta ={\frac {x_{2}-x_{1}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}-(ct_{2}-ct_{1})^{2}}}}={\frac {\Delta x}{\sqrt {\Delta x^{2}-\Delta t^{2}c^{2}}}}$

關於這種坐標系和三角函數，有一些與傳統概念不同之處：

1. 看上去「長」的長度可能實際上是短的，因此長度不能直觀地比較；
2. 正弦函數可以取虛數；
3. 餘弦函數絕對值可以大於1。

世界線

由愛因斯坦理論得知，三維空間與一維時間組成四維時空。因此，可以由四維時空坐標系O-xyzt。（因無法畫出四維坐標，除特別聲明外，各圖中不考慮y、z軸，x軸為與速度平行方向。）

一個物體的世界線指它在時空坐標上對應點的軌跡。世界線是物體可以達到的時空坐標的總和。換言之，物體不可能存在於世界線外的任何一點。

比如，一輛車以速度v直線運動，則x=vt，即圖中線$\tan \theta ={\frac {v}{ic}}$。

洛倫茲變換的幾何推導

在s系，即x-ict系中，設一個物體以v的速度沿x方向運動，零時刻在原點。則其世界線為O-ict'軸。相對此物本身靜止的參考系，即x'-O-ict'系，記作s'系，由4.2節可知： $\tan \theta ={\frac {v}{ic}}=-i\beta$

則$\cos \theta =\gamma \sin \theta =-i\beta \gamma$

則s系中一點P（x,ict）在s'系對應點坐標為（x',ict'），有： $x^{\prime }=x\cos \theta -ict\sin \theta =x\gamma -ct\beta \gamma =\gamma (x-vt)$
$ict^{\prime }=ict\cos \theta +x\sin \theta =ict\gamma -i\beta \gamma x$
$t^{\prime }=r(t-{\frac {vx}{c^{2}}})$

即為洛倫茲變換。

尺縮與鐘慢

尺縮

設s係為本徵參考系。其間有一段長度${\bar {AB}}=l$，則在s系中，按照測量的同時原則，應測量AB兩點在s'系中同一時刻坐標差，那麼，看到的B必在s系中早於A，記為B'。

則$l^{\prime }={\overline {AB^{\prime }}}={\frac {l}{\cos \theta }}={\frac {l}{r}}=l{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<l$，故尺縮。

或也可解釋為，長度AB即為同一時刻A、B兩點x坐標之差。A、B在s系世界線均平行ict軸（靜止），在s'系用平行x'軸的直線截它們即得$l^{\prime }={\overline {AB^{\prime }}}$。

鐘慢

設s係為本徵參考系。在s系中有一段時間差δt，即A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₂)。在s'系中，時間差即為坐標在ict'分量上的差，即${\overline {AB^{\prime }}}={\bar {AB}}\cos \theta ={\overline {AB}}r$

所以$t^{\prime }={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}<t$，故鐘慢。

分析

在坐標上看，時間軸與空間軸的情況十分類似，但「尺」是本徵系最長，「鍾」是本徵系最快，初學者往往難以理解。這涉及時間差與長度的測量。

測量時間差時，只需在同一系中記錄兩點（四維點）的時間坐標再求差即可，與其空間位置完全無關。

而測量長度時，要求在測量系中必須同時測頭尾坐標，再求空間坐標之差，這兩點在測量時本徵參考系的時間坐標可以不同。但由於在本徵參考系空間位置不變，故（在4.4.1節圖中）要算${\overline {AB^{\prime }}}$而非${\overline {AB^{*}}}$（在s系可以看出，B在任何時刻都不在B*）。

事實上，也可以測量不同時的空間坐標差，但這就不是長度了，也不具有明顯的幾何意義。

速度合成公式

一物體A相對s系以v₁運動，其世界線為OT₁，tanθ=-iβ₁；一物體B相對A以v₂運動，其世界線為OT₂，tanφ=-iβ₂。B相對s系的速度設為v₃。則有 $-i\beta _{3}=\tan(\theta +\phi )={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}$
$={\frac {-i\beta _{1}-i\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}$

得$v_{3}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}$，即為速度合成公式。

特別地，當β=1，即v=c時，tanθ=-i，θ=45°，可以算得 $\theta \oplus \phi =\theta ,v\oplus c=v$

光波的都卜勒效應

在s系中，光波周期為T，則在0時刻和icT時刻發出兩束光的世界線如圖。

在s'系中易看出T'為兩條世界線與ict'軸交點間長度。

直線l₁方程：ict=icT+x；
直線O-ict'方程：ict=x cotθ
得$x={\frac {icT}{1-\cot \theta }}$
$icT^{\prime }={\frac {x}{\sin \theta }}={\frac {icT}{\sin \theta -\cos \theta }}$
$={\frac {icT}{-i\beta \gamma -\gamma }}$

狹義相對論的局限性

相關條目

• 洛倫茲變換
• 伽利略變換
• 相對論
• 廣義相對論
• 論動體的電動力學
• E=mc²

外部連結

• 一篇對狹義相對定量分析的論文
• 一個用初等數學證明勞侖玆變換的PPT

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