Sinc函數

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sinc函數（英語：sinc function）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 $\mathrm {sinc} (x)\,$ 表示這種函數。 sinc函數可以被定義為歸一化的或者非歸一化的，不過兩種函數都是正弦函數和單調的遞減函數 1/x的乘積：

在數位訊號處理和通信理論中，人們把歸一化sinc函數定義為
對於所有 $x \neq 0$ ， $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$
在數學領域中，人們以前使用的非歸一化sinc函數 （for sinus cardinalis）被定義為
對於所有 $x \neq 0$ ， $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$

在這兩種情況下，當x=0時sinc函數的值被定義為以下的極限值，因此 sinc 函數是處處可解析的。

對於任何實數

a \neq 0

，

\operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1

非歸一化sinc函數等同於歸一化sinc函數，只是它的變量中沒有放大係數 π 。

屬性

歸一化 sinc 函數的特性使得它在插值與帶限函數中得到理想應用：

對於 $k\neq 0\,$ 與 $k\in \mathbb {Z} \,$ （整數）， $\mathrm {sinc} (0)=1\,$ 和 $\mathrm {sinc} (k)=0\,$ ；也就是說，它是一個插值函數。
函數 $x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\$ 在函數空間 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 形成一個帶限函數的正交基，它的最大角頻率是 $\omega _{\mathrm {H} }=\pi \,$ ，也就是說最大的循環頻率是 $f_{\mathrm {H} }=1/2\,$ 。

這兩個 sinc 函數的其它特性包括：

非歸一化 sinc 函數 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ ；對應於它與餘弦函數的交點。也就是說，如果 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ 的導數是 0 ，即在 $x=a\,$ 有極值，那麼 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,$ 。

非歸一化 sinc 是第一類零階球貝索函數 $j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ 。歸一化 sinc 是 $j_{0}(\pi x)\,$ 。

非歸一化 sinc 的過零點是 $\pi \,$ 的非零倍數；歸一化 sinc 函數 $\mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,$ 的過零點出現在非零整數。

歸一化 sinc 函數 $\mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,$ 的對於普通頻率的連續傅立葉變換是 $\mathrm {rect} (f)\,$ 。

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)

,

其中矩形函數在 –1/2 到 1/2 之間值為 1，在其它區域值為 0。

積分

\int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1

是廣義積分。因為：

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,

所以它不是勒貝格積分。

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}$

其中

\Gamma (x)

是 Γ函數。

與狄拉克δ分布的關係

儘管不是分布，歸一化 sinc 函數也可以作為 nascent δ函數（參見狄拉克δ函數）使用。

歸一化 sinc 函數通過下式與δ分布 δ(x) 發生聯繫

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).

由於等式左側並不收斂，所以這不是普通的 limit，而是說明對於任意的緊支撐平滑函數 $\varphi (x)$ 有

\lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),

在上面的表達式中，隨著 a 趨近於 0，sinc 函數每個單元長度上的振動次數趨近於無限，然而不管 a 是什麼值，這個表示通常在 ±1/(πx) 內振動。這與 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，這表明了將δ函數作為函數而不是分布帶來的問題。在吉布斯現象（Gibbs phenomenon）中也有類似的狀況。