錢包悖論
內容
[編輯]A和B兩人進行一場賭博。
賭法是：由第三者計算A、B二者錢包裡面的錢，錢少者可以贏走錢多者的錢。
A對於這場賭博的想法為：若B的錢比我少，我可能輸掉我現有的錢。但若B的錢比我多，我贏了，就會得到多於我現有的錢。我能夠贏的錢比輸的錢多，所以這場賭博對我有利。
而B的想法也是如此。
二人想法的邏輯都正確，但若認為二人的想法都正確，又將做出這場賭博對A、B二人都有利的錯誤結論。這顯然是一個悖論。
來源
[編輯]錢包悖論源自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中賭的是領帶而非錢.
「有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第三個人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執者都這樣想：我知道我的領帶值多少。我也許會失去它，可是我也可能贏得一條更好的領帶，所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎麼會對雙方都有利呢？」
分析
[編輯]克萊特契克的分析
[編輯]克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。
他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣，就可看出這個此賽是「對稱的」，不會偏向任何一方。
但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。
考慮勝算
[編輯]其實問題就在A，B二人只以「可以贏更多的錢」這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。 這場賭博應從勝算去判斷對誰有利，而不是以「可以贏更多的錢」來判斷。
若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：
若錢包里的錢比平均值小，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包里的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。
但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。
其實最有勝算的方法是知道對方的錢包里有多少錢。
另一種分析
[編輯]錢包只有二個，所以錢包里的錢只存在二個數：
X,Y，設X>Y。
A有1/2機會是X，1/2機會是Y；B也如是。
如果A的錢是Y，則贏得X；如果A的錢是X，則輸掉X；B也如是。
結論：1/2機會贏，1/2機會輸。
而A,B想法的問題出在，他們假設了3個數：
設A有X元，B有Y元,或Z元(Z>X)。
但實際上只存在2個數，所以這是錯誤的論證，推理出錯誤的結論。
還有一種分析
[編輯]假如A（或B）有可賭性，那麼A（或B）錢數的可能性的最大值和最小值是一樣的，還有可能性的最大值是有限的。可A（或B）覺得無論自己的值是多少，對方都可能超越，可是當自己為可能性的最大值時，則沒有可能被超越，否則的話勝算則偏向可能性的最大值小的一方。對方可能性的最大值被認為是無限制的話，就導致了贏的可能性不會隨錢數的增加而減少。
貝葉斯分析
[編輯]如果錢數存在先驗概率分布，則可以給出贏錢的期望值以及輸贏概率。由於先驗概率在錢數很大時恆等於零，容易證明無腦交換平均不會有收益[1]
現實例子
[編輯]最常見的就是在賭博時，期待「如果贏的話、會贏得比輸得更多」。例如玩吃角子老虎機時認為「就算只中櫻桃，也是翻五倍！」但問題在於未必會中獎。