歐拉-拉格朗日方程式(英語:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程式。它是一個二階偏微分方程式。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是 。
該方程式由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉與義大利數學家約瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。
設,以及在中連續,並設泛函
- 。
若使得泛函取得局部平穩值,則對於所有的,
- 。
推廣到多維的情況,記
- ,
- ,
- 。
若使得泛函取得局部平穩值,則在區間內對於所有的,皆有
- 。
設,及在中連續,若使得泛函取得局部平穩值,則存在一常數,使得
- 。
設及為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設,並且
- ;
這裏,為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
- 。
現設
- ,
- ,
取偏微分,則
- ,
- ,
- 。
若使得取得局部平穩值,則符合第一方程式:
- ,
- 。
因此,
- ,
- 。
隨積分,
- ,
- ;
這裏,為常數。重新編排,
- ,
- 。
再積分,
- ,
- 。
代入初始條件
- ,
- ;
即可解得,是連接兩點的一條線段。
另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。
另一個例子同樣是求定義在區間[a, b]上的實值函數y滿足y(a) = c與y(b) = d,並且沿著y所定義的曲線的道路長度最短。
被積函數為
L的偏導數為
以及
把上面兩式代入歐拉-拉格朗日方程式,可以得到
也就是說,該函數的一階導數必須為常值,因此其圖像為直線。
- Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.