林德勒夫引理

在拓撲學中，林德勒夫引理（Lindelöf's lemma）所闡述的是：滿足C₂公理和T₃公理的空間也滿足T₄公理。

證明

取$X$的一個可數拓撲基${\mathcal {B}}$。設$F$和$F'$是不相交的閉集，構造它們的不相交鄰域如下：

對$\forall x\in F$，則$x\notin F'$。由T₃公理可知，有$x$和$F'$的不相交鄰域$W$和$W'$，於是${\bar {W}}\cap F'=\varnothing$。取$B\in {\mathcal {B}}$，使得$x\in B\subset W$，則${\bar {B}}\cap F'=\varnothing$。記$\{B_{1},\ B_{2},\ \cdots \}$是${\mathcal {B}}$中所有閉包與$F'$不相交的成員，上面已證明$F\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$。記$\{B_{1}',\ B_{2}',\ \cdots \}$是${\mathcal {B}}$中所有閉包與$F$不相交的成員，則$F'\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}'$。

記$U_{n}=B_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}'}}$，$V_{n}=B_{n}'\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}}}\ (n=1,2,\cdots )$，則$U_{n}$和$V_{n}$都是開集，並且$\forall n,m,\ U_{n}\cap V_{m}=\varnothing$。令$U=\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}$，$V=\bigcap _{n=1}^{\infty }V_{n}$，則$U\cap V=\bigcup _{n,m=1}^{\infty }(U_{n}\cap V_{m})=\varnothing$。設$x\in F$，則存在$n$，使得$x\in B_{n}$，從而$x\in U_{n}\subset U$。因此$U$是$F$的開鄰域，同理$V$是$F'$的開鄰域。從而$U$和$V$是$F$和$F'$的不相交鄰域，空間$X$滿足T₄公理。

參見

• 點集拓撲學
• 分離公理
• 可數性公理

參考

• 《基礎拓撲學講義》尤承業 P42、43