斯特凡-波茲曼定律

斯特凡-波茲曼定律（Stefan-Boltzmann law），又稱斯特凡定律，是熱力學中的一個著名定律，其內容為：一個黑體表面單位面積在單位時間內輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）j^*與黑體本身的熱力學溫度T（又稱絕對溫度）的四次方成正比，即：

j^{\star }=\epsilon \sigma T^{4}

其中輻射度j^*具有功率密度的因次（能量/（時間·距離²）），國際單位制標準單位為焦耳/（秒·平方米），即瓦特/平方米。絕對溫度T的標準單位是克耳文， $\epsilon$ 為黑體的輻射係數；若為絕對黑體，則 $\epsilon =1$ 。

比例係數σ稱為斯特凡-波茲曼常數或斯特凡常量。它可由自然界其他已知的基本物理常數算得，因此它不是一個基本物理常數。該常數的值為：

\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400(40)\times 10^{-8}{\textrm {J}}{\textrm {s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}.

所以溫度為100 K的絕對黑體表面輻射的能量通量密度為5.67 W/m²，1000 K的黑體為56.7 kW/m²，等等。

斯特凡-波茲曼定律是一個典型的冪次定律。

本定律由斯洛維尼亞物理學家約瑟夫·斯特凡（Jožef Stefan）和奧地利物理學家路德維希·波茲曼分別於1879年和1884年各自獨立提出。提出過程中斯特凡通過的是對實驗數據的歸納總結，波茲曼則是從熱力學理論出發，通過假設用光（電磁波輻射）代替氣體作為熱機的工作介質，最終推導出與斯特凡的歸納結果相同的結論。本定律最早由斯特凡於1879年3月20日以Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur（《論熱輻射與溫度的關係》）為論文題目發表在維也納科學院的大會報告上，這是唯一一個以斯洛維尼亞人的名字命名的物理學定律。

本定律只適用於黑體這類理想輻射源。

斯特凡-波茲曼定律的推導

斯特凡-波茲曼定律能夠方便地通過對黑體表面各點的輻射譜強度應用普朗克黑體輻射定律，再將結果在輻射進入的半球形空間表面以及所有可能輻射頻率進行積分得到。

j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{\Omega _{0}}d\Omega ~I(\nu ,T)\cos(\theta )

式中Ω₀黑體表面一點的輻射進入的半球形空間表面（以輻射點為球心）， $I(\nu ,T)$ 為在溫度T時黑體表面的單位面積在單位時間、單位立體角上輻射出的頻率為 $\nu$ 的電磁波能量。式中包括了一個餘弦因子，因為黑體輻射幾何上嚴格符合朗伯餘弦定律（Lambert's cosine law）。將幾何微元關係dΩ=sin(θ)dθdφ代入上式並積分得：

j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{0}^{2\pi }\!d\phi \int _{0}^{\pi /2}\!d\theta ~I(\nu ,T)\cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\,T^{4}

（對頻率的玻色積分項的計算方法參見條目多重對數函數）

日面溫度

提出本定律後斯特凡利用它估算了太陽的表面溫度。當時法國人查理·索里特（Charles Soret，1854年–1904年）用實驗測得地球上接收到的太陽發出的能量通量密度約為一塊加熱金屬板表面輻射的能量通量密度的29倍。將適當大小的圓形金屬版放置在測量儀器前方適當的距離，則可以認為測量儀器接收到的金屬板發出輻射的角度與太陽光照射的角度基本相同。索里特測得金屬板的表面溫度為1900°C到2000 °C之間。斯特凡猜測太陽照射到地球的能量有1/3被地球大氣層吸收（當時尚未有關於大氣層對電磁輻射的吸收的公認測量數據），所以算得實際接收到的太陽輻射強度應為金屬板輻射強度的29×3/2 = 43.5倍。金屬板的表面溫度斯特凡取索里特猜測的中間值1950 °C，即2200 K。由於43.5 = 2.57⁴，所以根據上面的定律，太陽表面的絕對溫度應為金屬板表面絕對溫度的2.57倍，即5430 °C或5700 K（現代精確測量結果為5780 K）。這是歷史上對日面溫度的第一個較精確的測量結果。在此之前人們對日面溫度的數值曾經眾說紛紜，測量結果從1800 °C到13,000,000 °C都有。通過其他方法測量的日面溫度與該結果的吻合驗證了本定律的正確性。

參考文獻

Stefan, J.: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, in: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.
Boltzmann, L.: Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, in: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22 (1884), S. 291-294
汪志誠編，《熱力學·統計物理》（第三版），高等教育出版社，北京，1993，第87頁~第91頁，ISBN 7-04-004360-2
吳強、郭光燦編，《光學》，中國科學技術大學出版社，合肥，1996，第380頁~第381頁，ISBN 7-312-00762-7

參見