拉比週期

在物理學中，拉比週期是在振盪外場中的二能階量子體系的週期性行為。一個二能階系統具有兩個可能的狀態，如果狀態不是簡併的，當吸收一份能量以後，體系可以被激發。

這種效應在量子光學、核磁共振和量子計算中非常重要，它是以伊西多·伊薩克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

當一個原子（或者其它二能階體系）被一束相干光照射的時候，它將週期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來，這樣一個週期稱為拉比週期，它的倒數稱為拉比頻率。

這種機制是量子光學的基礎，其模型的建立可以依據傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫向量形式。

例如，對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能階原子（該原子的電子可以處於激發態或者基態），利用布洛赫方程式可以得到，原子處於激發態的機率為$|c_{b}(t)|^{2}=\sin(\omega t/2)^{2}\,$ ，其中$\omega \,$為拉比頻率。

更一般地，可以考慮一個沒有本徵態的二能階體系，如果這個體系初態位於其中一個能階，時間演化將導致每個能階的態密度按照某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。

數學處理

拉比效應的數學細節請參見拉比問題。 例如，若將電磁場頻率調至激發能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之電子可以處於激發態或基態），那麼處於激發態原子之機率可以從Bloch方程式得出：

$|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)$

$\omega$是拉比頻率。

更一般而言，我們可以考慮一種，兩個能階都不是能量本徵態的系統 。因此，如果在其中一個能階對系統初始化，則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。 該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量 ，這意味著每個狀態向量 $\vert \psi \rangle$是以標準的複數坐標表示。

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$$c_{1}$和$c_{2}$是坐標。

如果向量歸一化， $c_{1}$和$c_{2}$的關聯為${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ 。 基向量表示為$|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$和$|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

所有與該系統相關的可觀測物理量均為2 $\times$ 2埃爾米特矩陣 ，這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。

如何在量子系統中準備振盪實驗

可以透過以下步驟建構振盪實驗：

1. 準備系統，使之處於固定狀態；例如 $|1\rangle$
2. 在哈密頓量H下，讓態隨時間t自由演化
3. 求出狀態為$|1\rangle$的機率 P(t)

如果$|1\rangle$是H的本徵態且P(t)=1 ，那麼就不會產生振盪。此外，如果兩個態$|0\rangle$和$|1\rangle$皆為簡併態，那麼包括$|1\rangle$在內的所有態皆為H的本徵態。因此也不會產生振盪。

另一方面，若H無簡併本徵態，且初態不是本徵態，則振盪將會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$

$a_{0},a_{1},a_{2}$和$a_{3}$是實數。 這個矩陣可以分解為

$\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};$

$\sigma _{0}$是2 $\times$ 2單位矩陣，$\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$是包立矩陣 。 尤其是在與時間無關的情況下，這種分解能夠簡化系統分析，其中$a_{0},a_{1},a_{2}$和$a_{3}$是常數。考慮置於磁場$\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ 之中的自旋1/2粒子。該系統的交互作用能量算符為

$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ ， $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

$\mu$是粒子磁矩的大小， $\gamma$是旋磁比 ，${\boldsymbol {\sigma }}$是包立矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是$\sigma _{3}$，而$|1\rangle$和$|2\rangle$具有對應的本徵值$E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ 。 我們可以在系統處於狀態$|\psi \rangle$下，給出找到任意狀態$|\phi \rangle$之機率${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$。在$t=0$的時刻，讓系統處於準備狀態$\left|+X\right\rangle$ 。 注意到$\left|+X\right\rangle$是$\sigma _{1}$的本徵態 ：

$|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

此處的哈密頓量與時間無關。 因此，透過求解平穩的薛丁格方程式，在經過時間t之後，狀態演變為$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle$ ，帶有系統總能量$E$ 。 因此經過時間t之後，狀態成為：

$|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$

現在假設在t時刻，對x方向上的自旋進行測量。 下式給出測量到自旋向上的機率：

${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),$

$\omega$是特徵角頻率，假設$E_{-}\geq E_{+}$的情形，給定$\omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B$ 。 在這種情況下，當系統最初自旋是在$\left|+X\right\rangle$方向，那麼x方向發現自旋向上的機率會隨著時間$t$而振盪。 同樣，如果我們測量$\left|+Z\right\rangle$方向，那麼所測量到的系統自旋為${\tfrac {\hbar }{2}}$之機率為${\tfrac {1}{2}}$ 。在$E_{+}=E_{-}$簡併情形下 ，特徵頻率為0，無振盪發生。

留意到，如果系統處於給定哈密頓量的本徵態，則系統將維持在該狀態，保持不變。

這同樣也適用於時間相依的哈密頓函數。 以${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ 為例；如果系統的初始自旋狀態為$\left|+Y\right\rangle$ ，那麼在$t$時刻，自旋在y方向測量結果為$+{\tfrac {\hbar }{2}}$之機率為${\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$ 。

電離氫分子兩態間的拉比振盪。
電離氫分子是由兩個質子$P_{1}$、$P_{2}$和一個電子所組成。由於質子質量較大，因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離，而 $|1\rangle$和$|2\rangle$兩個態的電子所處之位置，約坐落在$P_{1}$或$P_{2}$附近。假設在某一時刻，電子位於質子$P_{1}$附近。根據前一節的結果，我們知道它將在兩個質子之間振盪，而振盪頻率等於與兩個分子定態$|E_{+}\rangle$和$|E_{-}\rangle$有關的波耳頻率。這種在兩個態之間的電子振盪，對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此，當分子不處於定態時，就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此，這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。

以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式

考慮以下形式的哈密頓量

${\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.$

該矩陣的特徵值為

$\lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$ ，$\lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$。

此處$\mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}$， ${\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}$。因此我們可以取 $\mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }$。

現在，由方程式 :${\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$，我們可以得到$E_{+}$的特徵向量。

因此， $b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}$。

對特徵向量採用歸一化條件${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1$。

因此 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1$。

令 $\sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$，$\cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$。所以$\tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}$。

我們得到 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1$，即 ${\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$。取任意相角$\phi$，我們可以寫下 $a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$. 同理可證，$b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$。

所以特徵值$E_{+}$之特徵向量為$\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}$。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 $\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle$。

類似地, 特徵能量$E_{-}$之特徵向量為 $\left|E_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle$。

從這兩個方程式，我們可以寫出

$\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$

$\left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$。

假設系統開始時在時刻 ${\textstyle t=0}$的狀態是$|0\rangle$，也就是說，$\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$。經過時間t之後，狀態演變為

$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle$。

如果系統處於$|E_{+}\rangle$ 或 $|E_{-}\rangle$之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態$|1\rangle$的機率幅為 ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)}$。

系統當前處於$|\psi (t)\rangle$，而之後處於任意態 $|1\rangle$的機率為

${\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}$

這可以簡化為

$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$.........(1)

這表明， 當系統最初處於狀態$|0\rangle$時，該系統最終處於狀態$|1\rangle$的機率是有限的。機率是以角頻率 $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}$振盪，而$\omega$是系統唯一的波耳頻率，又稱為拉比頻率。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態$|0\rangle$的機率為${|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如微中子振盪、電離氫分子、量子計算、氨邁射等等。

量子計算中的拉比振盪

任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋${\tfrac {1}{2}}$系統，將磁矩${\boldsymbol {\mu }}$置於古典磁場${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$之中。令系統旋磁比$\gamma$，因此磁矩${\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}$，可以給出該系統的哈密頓量$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)$，此處$\omega _{0}=\gamma B_{0}$，$\omega _{1}=\gamma B_{1}$。

透過上述步驟，我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在，讓量子位元在$t=0$時刻處於量子態$|0\rangle$，那麼，在$t$時刻，量子位元處於量子態$|1\rangle$的機率為$P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)$$\Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}$，這種現象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態$|0\rangle$和$|1\rangle$之間振盪。振盪的振幅會在$\omega =\omega _{0}$達到最大，而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)$，要從一個量子態$|0\rangle$躍遷到另一個量子態$|1\rangle$，只需調整旋轉場作用的時間$t$滿足${\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$或是$t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}$就充分了，這叫做「$\pi$脈衝」。如果選擇的時間介於0和${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$之間，我們會得到$|0\rangle$和$|1\rangle$的疊加態。尤其是當$t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}$的時候，我們會得到一個「${\frac {\pi }{2}}$脈衝」，它的作用是造成$|0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}$量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對雷射場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時，方程式基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差$\hbar \omega _{0}$($\omega$是雷射波的頻率)及拉比頻率$\omega _{1}$，與原子的躍遷電偶極矩${\vec {d}}$與雷射波電場${\vec {E}}$的乘積成正比，也就是$\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在週期性的電場或磁場中來獲得。

相關條目

• 原子相干性
• 布洛赫球面
• 雷射激升
• 光激升
• 拉比頻率
• 拉比問題
• 真空拉比振盪

外部連結

• https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

• https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.