密率

密率即 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}355/113$ ，是圓周率比較精確的一個分數近似值。出自《隋書·律曆志上》：「密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。」^[1]由南北朝數學家祖沖之發現。

密率 $355 / 113$ 是π的一個漸近分數（參見連分數），是分母小於16604的所有既約分數中最接近π的一個（參見最佳逼近）。它的小數點後六位皆與π相同，與其僅有0.000009%的差距，即小於 $1 / 3748629$ 。更加精確的分數近似值，則是 $52163 / 16604$ ，也仍然只有小數點後六位數字相同。而要達到7位數字相同，則要 $86953 / 27678$ 才得以實現。若要8位數字相同，則要 $102928 / 32763$ 才成。^[2]

參考值：

{\begin{aligned}\pi &\approx 3.141\ 592\ 653\ 589\ 793\dots \\\\{\frac {355}{113}}&\approx 3.141\ 592\ 920\ 353\ 982\dots \\\\{\frac {52163}{16604}}&\approx 3.141\ 592\ 387\ 376\ 536\dots \\\\{\frac {86953}{27678}}&\approx 3.141\ 592\ 600\ 621\ 432\dots \\\\{\frac {102928}{32763}}&\approx 3.141\ 592\ 650\ 245\ 704\dots \end{aligned}}

注釋

^ 《隋書·律曆志上》：宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。
^ Fractional Approximations of Pi. [2023-11-13]. （原始內容存檔於2023-09-30）.

參考文獻

《隋書》
（英文）Jean claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, p281

[1] 《隋書·律曆志上》：宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。

[2] Fractional Approximations of Pi. [2023-11-13]. （原始內容存檔於2023-09-30）.

[1]

[2]