反伽瑪函數
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
的
函數圖形 反伽瑪函數
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
在
複數域 的
色相環複變函數圖形 反伽瑪函數
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
伽瑪函數 （Γ函數）的反函數 。
換句話說，如果反Γ函數以
Γ
−
1
(
x
)
=
y
{\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}
Γ
(
y
)
=
x
{\textstyle \Gamma (y)=x}
函數值 為5，
Γ
−
1
(
24
)
=
5
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}
[ 1] 定義域 在實數 區間
[
β
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}
[
α
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
β
=
0.8856031
…
{\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }
[ 2] 實軸 上的最小值、
α
=
Γ
−
1
(
β
)
=
1.4616321
…
{\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }
[ 3]
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
x
{\displaystyle x}
[ 4] 階乘 的關係來定義反階乘 ，即階乘的反函數。
限制在
[
α
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
Γ
n
−
1
(
z
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數 ，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數 由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數 ，因此最簡單的情況下可以表示為：
Γ
(
Γ
−
1
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}
更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分 表達式來定義：[ 5]
Γ
−
1
(
x
)
=
a
+
b
x
+
∫
−
∞
Γ
(
α
)
(
1
x
−
t
−
t
t
2
−
1
)
d
μ
(
t
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}
其中
∫
−
∞
Γ
(
α
)
(
1
t
2
+
1
)
d
μ
(
t
)
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }
b
≧
0
{\displaystyle b\geqq 0}
實數 、
μ
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)}
博雷爾測度 。
不同分支的反伽瑪函數 反伽瑪函數的分支可以透過先計算
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
α
{\displaystyle \alpha }
泰勒級數 ，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。
例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似[ 6]
Γ
−
1
(
x
)
≈
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
反伽瑪函數也有如下的漸近分析 形式：[ 7]
Γ
−
1
(
x
)
∼
1
2
+
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函數 。這個公式是利用史特靈公式 求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。
要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數
1
Γ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}
在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。
令
z
=
1
x
{\displaystyle z={\frac {1}{x}}}
n
{\displaystyle n}
Γ
n
−
1
(
z
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
[ 8]
Γ
n
−
1
(
z
)
=
−
n
+
(
−
1
)
n
n
!
z
+
ψ
(
0
)
(
n
+
1
)
(
n
!
z
)
2
+
(
−
1
)
n
(
π
2
+
9
ψ
(
0
)
(
n
+
1
)
2
−
3
ψ
(
1
)
(
n
+
1
)
)
6
(
n
!
z
)
3
+
O
(
1
z
4
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}
其中，
ψ
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}
多伽瑪函數 。
反階乘的複變函數圖形 反階乘是階乘 的反函數 ，有時記為Factorial-1 或ArcFactorial[ 9] 函數值 可以透過反伽瑪函數 或解伽瑪函數方程來得到[ 10]
5
!
=
120
{\displaystyle 5!=120}
[ 註 1]
反伽瑪函數與反階乘的關係為：
Γ
−
1
(
n
)
=
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
+
1
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}
這是由於：
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}
反階乘可以定義為：
(
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
)
!
=
z
{\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}
條件是
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
在分支點
z
=
μ
0
{\displaystyle z=\mu _{0}}
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
=
ν
0
+
∑
n
=
1
N
−
1
d
n
⋅
(
log
(
z
/
μ
0
)
)
n
/
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}
由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
≈
−
1
+
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
因此，反階乘也可以寫成如下的漸近分析 形式：[ 7]
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
x
)
∼
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函數 。
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A030171
