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九九表

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《孫子算經》中的九九表
朱世傑《算學啟蒙》中的九九表

九九表，又稱九九歌、九因歌，是中國古代籌算中進行十進位制乘法、除法、開方等運算中的基本計算規則，春秋戰國沿用到今日，已有兩千多年。現在小學初年級學生、一些學齡兒童都會背誦。

西方文明古國的古希臘和古巴比倫也發明過乘法表，不過比起九九表要複雜得多。希臘乘法表有1,700多項，而且不夠全面[1]。由於在13世紀之前他們計算乘法、除法十分困難，所以能夠除一個大數的人會被視為數學家[2]。歐洲直到13世紀初都不知道這種簡單的十進位乘法表。13世紀之初，東方的十進位計算方法通過阿拉伯人傳入歐洲，歐洲人發現了他的方便之處，所以學習這個新方法。當時，用新法乘兩個數這類題目，是大學的教材[3]。

九九表的內容

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1 1
2 2 4
3 3 6 9
4 4 8 12 16
5 5 10 15 20 25
6 6 12 18 24 30 36
7 7 14 21 28 35 42 49
8 8 16 24 32 40 48 56 64
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9

中國的學齡前兒童在記憶以上經過簡化的乘法表是通過口訣來記憶的，例如：「一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五一十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....」。對於像9×7這樣的計算，孩子們都能條件反射地將較小的乘數調整到前面，並使用口訣「七九六十三」得到結果。由於任何數與1相乘都等於該數自身，所以通常也不用背誦乘數為1的行列，這樣最終需要背誦的口訣只有36句。

口訣
一一得一
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六 三三得九
一四得四 二四得八 三四十二 四四十六
一五得五 二五一十 三五十五 四五二十 五五二十五
一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八得八 二八十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一

九九表的特點

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維基文庫中的相關原始文獻：九因歌
常見於香港練習簿封底的九因歌。
  1. 九九表一般只用一到九這9個數字。
  2. 九九表包含乘法的可交換性，因此只需要「八九七十二」，不需要「九八七十二」，9乘9有81組積，九九表只需要1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45項積。明代珠算也有採用81組積的九九表。45項的九九表稱為小九九，81項的九九表稱為大九九。
  3. 古代世界最短的乘法表。瑪雅乘法表須190項，巴比倫乘法表須1770項，埃及、希臘、羅馬、印度等國的乘法表須無窮多項；九九表只需45或81項。
  4. 朗讀時有節奏，便於記憶全表。
  5. 九九表存在了至少三千多年。從春秋戰國時代就用在籌算中運算，到明代則改良並用在算盤珠算上。現在，九九表也是小學算術的基本功。

世界文明古國乘法表比較

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中國乘法表和其他的乘法表的分別：

  • 古希臘、古埃及、古印度、古羅馬沒有進位制，原則上需要無限大的乘法表，因此不可能有九九表。例如希臘乘法表必須列出7×8，70×8，700×8，7000×8……[1]。相形之下，由於九九表基於十進位制，7×8=56，70×8=560，700×8=5600，7000×8=56000，只需7×8=56一項代表。
  • 古巴比倫算術雖比希臘為早，卻比希臘等幾個國家的算術優越，因為巴比倫算術有位值制。不過巴比倫算術採用60進位制，原則上一個「59×59」乘法表需要59*60/2=1770項；由於「59×59」乘法表太龐大，巴比倫人從來不用類似於九九表的「乘法表」[4]。不過，考古學家發現巴比倫人用獨特的1×1=1,2×2=4,3×3=9……7×7=49，……9×9=81 ……16×16=256 …… 59×59=3481 的「平方表」。要計算兩個數a,b的乘積，巴比倫人則依靠他們最擅長的代數學，a×b=((a+b)×(a+b)-a×a-b×b)/2。例如 7×9=((7+9)×(7+9)-7×7-9×9)/2=(256-49-81)/2=126/2=63.
  • 古埃及沒有乘法表。考古家發現，古埃及人是通累次迭加法來計算乘積的。例如計算 5×13，先將13+13得26，再迭加26+26=52，然後再加上13得65[5]。
  • 古瑪雅人用20進位制，跟現代世界通用的十進位制最接近。一個19×19乘法表有190項，比九九表的45項雖然大三倍多，但比巴比倫方法還是簡便得多。可是考古學家至今還沒有發現任何瑪雅乘法表。
古文明 進位制 乘法表項 九九表 考古文物
中國 10 45 有 九九表竹簡
希臘 無 無限大 無 370項不全乘法表
羅馬 無 無限大 無
埃及 無 無限大 無
印度 無 無限大 無
巴比倫 60 1770 無 平方表
瑪雅 20 190 無

用乘法表進行乘法運算，並非進位制的必然結果。巴比倫有進位制，但它們並沒有發明或使用九九表式的乘法表，而是發明用平方表法計算乘積。瑪雅人的數學是西方古文明中最先進的，用20進位制，但也沒有發明乘法表。可見從進位制到乘法表是一個不少的進步。

中國春秋戰國時代不但發明了十進位制，還發明九九表。後來東傳入高麗、日本，經過絲綢之路西傳印度、波斯，繼而流行全世界。十進位制和九九表是古代中國對世界文化的一項重要的貢獻。今日世界各國較少使用希臘等國的乘法。

文獻中的九九表

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明 程大位《算法統宗》算盤圖中的九因
  • 在中國古代文獻中，九因歌最早見諸秦漢古籍——《管子》，「五七三十五為尺而至於泉」，「四七二十八尺」，「六七四十二尺」，「七八五十六尺」。[6]
  • 《靈樞經》卷四：五八四十。[7]
  • 《荀子·大略》 「六六三十六，三丈六尺」。
  • 《戰國策》 「昔周之伐殷，得九鼎，凡一鼎而九萬人挽之，九九八十一萬人」。
  • 《大戴禮記 易本命》 「天一地二人三；三三而九，九九八十一，一主日，日數十，故人十月而生」。
  • 《呂氏春秋》 「三七二十一，臣故曰君延年二十一歲」。
  • 《春秋繁露》：二四八。
  • 《賈誼新書》卷四：四六二十四。[7]
  • 《周髀算經》：「矩出於九九八十一」。
  • 《韓詩外傳》中的九九歌故事：「齊桓公設庭燎，為士之欲造見者。期年而士不至。於是東野鄙人有以九九見者。桓公使戲之，曰：「九九足以見乎？」鄙人曰：「臣不以九九足以見也。君設庭燎以待士，期年而士不至。夫士之所以不至者，君，天下之賢君也，四方之士皆自以為不及君，故不至也。夫九九，薄能耳，而君猶禮之，況賢於九九者乎？夫太山不讓礫石，江海不辭小流，所以成其大也。《詩》曰：『先民有言，詢於芻蕘。』言博謀也。桓公曰：「善。」乃因禮之。四方之士相導而至矣」[8]。說明春秋時代九九歌已經很普通了，也間接說明在春秋時代，十進位制乘法已經存在了。
  • 《九章算術》劉徽序：「昔在庖犧氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術」。
  • 《淮南子》中有九九八十一，八九七十二至二九一十八8句。
  • 《戰國策》： 九九八十一，三七二十一。
  • 《孔子家語》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……二九一十八。[9]
  • 《史記正義》：二七十四，二八十六，七七四十九，八八六十四。
  • 《穆天子傳》 卷一 ：五五二十五。
  • 《夏侯陽算經》：「夫乘除之法先明九九」。
  • 成書於北朝的《敦煌算書》和敦煌《九九術殘木簡》中也有九九乘法表。
  • 宋洪邁著《容齋隨筆》續筆卷七《俗語算數》中有：「三三如九，三四十二，二八十六，四四十六，三九二十七，四九三十六，六六三十六，五八四十，五九四十五，七九六十三，八九七十二，九九八十一，皆俗語算數，然《淮南子》中有之。」並說也見《左傳》、《漢志》[10]。
  • 宋 楊輝 《算法通變本末》：「先念九九合數 如一至九九八十一，自小至大。」
  • 元 李冶 《測圓海鏡》：「雖九九小數，後世必有知者」
  • 元 朱世傑 《算學啟蒙》 卷一 《釋九數法》：「一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四……九九八十一」。
  • 明 程大位《算法統宗》：「九因：凡二至九粟位者用此置物為實以價為法呼九九合數。」
  • 明 王素文《算學寶鑑》第一卷 九九合數：「一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四……九九八十一」。

考古發現的九九表

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十九世紀末在中國新疆敦煌發現的漢簡，經王國維考證，其中一片出土於流沙的漢簡，是一個九九表的殘簡，從九乘九開始，讀曰九九八十一，八九七十二，七九六十三，八八六十四、七八五十六、六八四十八…… 二二而四共1110個字。之所以以九開始，可能和中國古代《易經》中的崇拜「九」的觀念有關，所以以九九開始為由，稱為九九歌、九因歌、九九表。據日本數學史家上野清研究，中國的九九表和周易六十四卦的排列大有關係[11]。劉徽在《九章算術序》中說：

昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，恊律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱「隸首作數」，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。

漢簡九九表長260厘米，寬24厘米。居延漢簡中的九九歌：

  • 「九九八十一，八九七十二，七九六十三。八八六十四，七八五十六，……五七卅五，四七廿八，三七廿一，五五廿五，四五廿，三五十五……三七二十一，二七一十四」，共14句。[12]。
敦煌殘卷中用大寫數字寫的九九表（P.3453v）

敦煌千佛洞《算書》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……一二如二，一一如一[13]

敦煌千佛洞《立成算經》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……一二如二，一一如一[14]

1981年，深圳市南頭紅花園3號東漢墓出土「乘法口訣銘文磚」，內容為「三九二十七、二九一十八、四九三十六」、「九九八十一、八九七十二、七九六十三、五九四十五」。現在深圳市博物館古代深圳部分展出。

2002年，中國考古學家在湖南一座距今二千多年前的春秋戰國時期的遺址內，發現之今最早的九九歌木簡殘片（里耶秦簡），上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字樣[15]，這說明乘法在春秋戰國時期支持十進位制的九九歌已經出現。

九九表到了宋朝，變成九九殿後的排列方式。

清華簡《算表》

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清華大學藏戰國竹簡（清華簡）第四中的《算表》被中國數學史家確認為目前國內發現最早的「大九九」算具，利用這套大九九《算表》，能夠快速計算100以內的兩個任意整數乘除、乘法和分數1/2的兩位數乘除法[16]。

九九表傳入日本

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隋唐時期中國傳入日本的算書包括《九章算術》、《海島算經》、《夏侯陽算經》、《孫子算經》等。

日本現存古算書中有一部源為憲作的《口游》（970年），內錄九九表一則，以九九開始，和孫子算經同。「九九八十一，八九七十二，六九五十四……二二四，一二二，一一一」[17]。日本還出土過飛鳥時代的乘法表。[18]日本足利時代的《拾芥抄》也有九九表[19]。

相關條目

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 希臘乘法表殘卷[永久失效連結]
  2. ^ 卡賓斯基 《算術史》；Kapinski,L.C The History of Arithematic p120
  3. ^ Lam Lay Yong，Ang Tien Se： The Fleeting Footsteps，vii ISBN 981-02-3696-4
  4. ^ George Ihrah, Universal History of Numbers, p154-156, Wiley ISBN 0965045501
  5. ^ George Ifrah, The Universal History of Numbers, p162-167
  6. ^ 鄒大海著作 《中國數學的興起和先秦數學》 106-107
  7. ^ 7.0 7.1 李儼 《中國古代數學史料》 中國科學圖書儀器公司 5.《古九九表》
  8. ^ 《韓詩外傳》 卷三
  9. ^ 《李儼錢寶琮科學史全集》 第六卷 391
  10. ^ 宋洪邁著《容齋隨筆》續筆卷七《俗語算數》
  11. ^ 三上義夫著 林科裳譯 《中國算學之特色》四十二頁 商務印書館 中華民國 二十三年 再版
  12. ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8 《上古中算史》 378-379頁
  13. ^ 《李儼錢寶琮科學史全集》 第二卷 47-48頁 《敦煌千佛洞算書和算經》
  14. ^ 《李儼錢寶琮科學史全集》 第二卷 56-58頁 《敦煌千佛洞算書和算經》
  15. ^ 湖南一座战国遗址发现两千多年前的乘法口诀表. [2021-02-15]. （原始內容存檔於2010-05-11）. 
  16. ^ 人民网：《清华简《算表》被证实为中国最早“计算器”》. [2014-03-11]. （原始內容存檔於2019-02-21）. 
  17. ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8 《中算史論叢》第五集，中算傳入日本的經過》 544頁
  18. ^ 日本宣布发现距今1300多年的九九乘法表-观察者网. 首頁. 2024-09-09 [2024-09-12] （中文）. 
  19. ^ 三上義夫著 林科裳譯 《中國算學之特色》三十九頁 商務印書館 中華民國 二十三年 再版
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