益古演段
《益古演段》是李冶的一部数学著作。“益古”指蒋周的《益古集》，“演段”指蒋周的算书《益古集》中的条段法。基本上都是已知平面图形的面积，求圆的半径、正方形的边长和周长等等。书中先用天元术建立方程（多数是二次方程），再用条段法旁证。
题目的格式，分四部分：“法曰”、“条段图”、“依条段求之”、“义曰”、和“旧术曰”。
- 法即天元法，
- 条段图和条段法是蒋周《益古集》的方法，
- 义就是文字说明，
- 旧术是《益古籍》中的方法，
- 依条段求之指用条段法证明天元术。
卷上
[编辑]
卷上 第一问至第二十二问，全是关于正方形和圆形的问题。
例子：第八问：今有方田一段，内有园池水占之。外有地一十三亩七分半。只云内外方圆周共相和，得三百步。问方圆周各多少？
答曰：外方周二百四十步，内圆周六十步。
法曰：立天元一为圆径，以三之为圆周，以减共步，得
太
为方周，以自增乘，得
太
（天元：相当于未知数 x）
十六段方田积于头，再立天元圆径以自之又十二之，得
- 太
为十六个圆池积以减头位得
- 太
-
为十六段如积，寄左然后列真积一十三亩七分半，以亩法通之得五万二千八百步，与左相消得
开平方为圆池径，又三之为圆池周。
卷中
[编辑]
第二十三问至第四十二问，共20 问，解长方形和圆形的问题。
例题：第三十六问
今有圆田一段，中有直池水占之，外计地六千步。只云从内池四角斜至四楞各一十七步半。其内池长阔共相和得八十五步。问三事各多少？
答曰外田径一百步，池长六十步，阔二十五步。
法曰 （天元术）：立天元一位内池斜角，加二倍池角到圆池的距离为圆的直径
圆直径：
太 （常数项）
（天元：相当于未知数 x）
圆直径= x+35
将近似圆周率 3 乘圆直径的平方 得圆面积的四倍= = 3 =
四段圆面积：
太（常数项）
- 元（x）
- （项）
四段圆面积减去四倍土地面积得池面积的四倍=- 4 x 6000 =
四段池积：
太
- 元（x）
- （项）
池长阔之和 85的平方
- （7225）
等于 四段池面积加 一段较（水池长与阔之差）幂（平方）
又二段池面积 加一段较幂 等于 长的平方加阔的平方 等于
水池对角线幂（对角线长度的平方）：
- 太
- 元 （x）
- （）
（四池积 + 较幂） -(二池积+ 较幂) = 二池积 = 7225-
- （7225）
二段池积 乘二 = 四段池积:
与上四段池积：
- 太
- 元（x）
- （项）
合并得一元二次方程式 :
太
- 元
解之得池对角线长度为65步
圆直径= 65 + 2 * 17.5 = 65+35=100
较 = 长 - 阔 =35步 长 +阔 =85
由此 池长=60 步 池阔 =25 步
卷下
[编辑]
第四十三问至第六十四问，共22 问，是关于比较复杂的图形。
第五十四问：今有方田一段，内有直池结角占之；外计地一千一百五十步只云从田角至水两边各一十四步，一十九步；问三事各多少？
答曰：方四十五步，池长三十五步，阔二十五步。
法曰：设天元一为池阔：x
- 元
池阔加田角到池边距离的2倍 （38步）等于 方田对角线的长度：x+38
- 元
取平方得展田（以方田对角线为边的正方形）面积
- 元
- 又池长-池阔 = 2 (19-14) = 10
池长 = 池阔 +10：x+10
- 太
池面积 = 池阔 乘 池长：x(x+10) =
- 太
-
池面积 乘 1.96 ( 的平方 =1.96) 得
太
展田面积 - 池面积 乘 1.96得地积乘1.96：
- - ：
-
元
占地 乘 1.96 =1150 * 1.96 =2254=
由此得 =：
- 元
解方程得 池阔 25步 由此得 池长 =池阔 +10 =35步 放田边长 =45 步
李冶在出版《测圆海镜》之后，撰写《益古演段》，将抽象的代数方法（天元术）和直观性强的几何方法（条段法）相结合来阐述问题，图文并茂，便于学习天元术，使此书成为当时受人们欢迎的数学教材。蒋周的《益古集》已失传，《益古演段》成为保留最详尽的条段法资料的文献。
1902年英国伦敦会传教士伟烈亚力在1902年上海出版的《中国典籍扎记》简略地介绍了《益古演段》[1].
1913年法国赫师慎（van Hée）将《益古演段》64问翻译成法文，发表在通报上。[2] 1984年新加坡大学蓝丽蓉和马来西亚的洪天赐发表英文论文题为《李冶及其益古演段》。