婆罗摩笈多公式

欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形的面积的公式，以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式。

基本形式

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：

${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

其中s为半周长：

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

证明

圆内接四边形的面积 = $\triangle ADB$的面积 + $\triangle BDC$的面积

$={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.$

但由于$ABCD$是圆内接四边形，因此$\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB$。故$\sin A=\sin C$。所以：

${\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

$({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}$

$4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,$

$4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,$

对$\triangle ADB$和$\triangle BDC$利用余弦定理，我们有：

$DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,$

代入$\cos C=-\cos A$（这是由于$A$和$C$是互补角），并整理，得：

$2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,$

把这个等式代入面积的公式中，得：

$4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,$

它是$a^{2}-b^{2}$的形式，因此可以写成$(a+b)(a-b)$的形式：

$(2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,$

$=[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,$

$=(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,$

引入$T={\frac {p+q+r+s}{2}}$，

$16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,$

两边开平方，得：

${\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.$

证毕。

更特殊情况

若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：

${\sqrt {abcd}}$

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

其中p为半周长：

$p={\frac {a+b+c+d}{2}}$

又因为四边形外切圆C，所以：

$a+c=b+d$

则：

$p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c$

同理:

$p-b=d$， $p-c=a$， $p-d=b$

综上：

$S={\sqrt {abcd}}$

证毕。

一般情况

布雷特施奈德公式

对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式，其叙述如下：

${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

其中 $\theta$ 是四边形一对对角和的一半。

注意到不论取到哪一对对角 $\cos ^{2}\theta$ 的值都一样，因为四边形的内角和是 $2\pi$，故如果选取到的是另一对角，其对角和的一半是 $\pi -\theta$。而 $\cos(\pi -\theta )=-\cos \,\theta$，所以有 $\cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}\theta$。

假设此时四边形恰好四顶点共圆，由于圆内接四边形的对角和为 $\pi$，因此 $\theta ={\pi \over 2}$，而且由 $\cos \,{\pi \over 2}=0$，可推得此时 $abcd\cos ^{2}\theta =0$，布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。

柯立芝公式

另一个由柯立芝所证明的公式如下：

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,$

其中 p 及 q 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中，根据托勒密定理我们有$pq=ac+bd$，此公式退化回为婆罗摩笈多公式。

相关定理

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取$d=0$的特殊情形。

婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式，就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。