维廷格函数不等式

数学上，实函数的维廷格不等式是傅里叶分析中的一条不等式，得名于威廉·维廷格。1904 年，其用作证明等周不等式。若干相关变式也称作维廷格不等式。

定理

第一形式

设 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 为周期 2π 的周期函数，其在 R 上连续，并有连续导数，且满足

$\int _{0}^{2\pi }f(x)\,dx=0.$

则

$\int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx\geq \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)\,dx$

其中等号成立当且仅当 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 对某些 a 和 b 成立（换言之，对某些 c 和 d, 有 f(x) = c sin (x + d) ）。

此形式的维廷格不等式即是一维情形下的庞加莱不等式，并且具有最优的常数（庞加莱常数）。

第二形式

以下相关的不等式也称为维廷格不等式：(Dym & McKean 1985):

若 f 为 C¹ 函数（即连续并具有连续导数）使得 f(0) = f(a) = 0, 则

$\pi ^{2}\int _{0}^{a}|f|^{2}\leq a^{2}\int _{0}^{a}|f'|^{2}.$

此形式的维廷格不等式即是一维的弗里德里希不等式。

证明

两者证明类似。以下给出第一条不等式的证明。由于 f 满足狄利克雷条件，有傅立叶展开

$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right).$

由于 f 的积分为零，有 a₀ = 0. 又由帕塞瓦尔恒等式，有

$\int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$

和

$\int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).$

各项中 $(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$ 非负，而 n² ≥1，故欲证的不等式成立。等号成立当且仅当对任意的 n ≥ 2, 皆有a_n = b_n = 0.

参考文献

• Dym, H; McKean, H, Fourier series and integrals, Academic press, 1985, ISBN 978-0-12-226451-1 
• Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press ISBN 0-691-11822-1

• Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.

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