索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula, 或 魏尔斯特拉斯定理（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是复分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

定理陈述

令ƒ为定义在实数轴上的连续函数，a与b为实常数，满足a < 0 < b。则

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,$

其中${\mathcal {P}}$表示柯西主值。

定理证明

简单证明如下：

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$

注意到第一项 $\varepsilon /(\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2}))$ 为狄拉克δ函数之先趋函数，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 $\mp i\pi f(0)$.

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，$x^{2}/(x^{2}+\varepsilon ^{2})$趋近于1；当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

物理应用

在量子力学和量子场论中，经常需要计算如下形式的积分：

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt)\,dt\,dE,$

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\,dE$

$=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,$

其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中，推导朗道阻尼的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

参考文献

• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations. Cambridge Univ. Press. 1995. ISBN 0-521-55001-7.  Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. Quantum Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc. 1998. ISBN 0-471-88702-1.  Appendix A, equation (A.19).

提及该定理名称的引用

• Quantum Theory of Many-body Systems: Techniques and Applications by Alexandre M. Zagoskin, p60
• Relativistic effects in proton-induced deuteron break-up at intermediate energies with forward emission of a fast proton pair
• Two-dimensional Coulomb Liquids and Solids, Yuriy Monarkha, p259