普朗克单位制

普朗克单位制是一种计量单位制度，由德国物理学家马克斯·普朗克最先提出，因此命名为普朗克单位制。这种单位制是自然单位制的一个实例，将某些基础物理常量的值定为1，这些基础物理常量是：

真空光速 $c$
万有引力常数 $G$ $G$
- 普朗克洛伦兹-亥维赛单位制将 $4\pi G$ 定为1，普朗克高斯单位制将 $G$ 定为1
狄拉克常数 $\hbar$
真空电容率 $\epsilon _{0}$ $\epsilon _{0}$
- 普朗克洛伦兹-亥维赛单位制将 $\epsilon _{0}$ 定为1，普朗克高斯单位制将 $4\pi \epsilon _{0}$ 定为1
玻尔兹曼常数 $k_{B}$

上述每一个常数都至少出现于一个基本物理理论： $c\,\!$ 在狭义相对论、 $G\,\!$ 在广义相对论与牛顿的万有引力定律、 $\hbar \,\!$ 在量子力学、 $\epsilon _{0}\,\!$ 在静电学、 $k_{B}\,\!$ 在统计力学与热力学。实际上，以上的五个常数在许多物理定律的代数表达式中多次出现，因此引入普朗克单位制可以将这些代数表达式简化，普朗克单位制也因此成为了理论物理学一个非常有用的工具。在统一理论方面的研究，特别如量子引力学中，普朗克单位制能够给研究者一点大概的提示。

普朗克单位制是一种独特的自然单位制，因为普朗克单位制不是以任何原器、人体的性质（例如：发光强度（烛光）、光通量（流明）、等效剂量（西弗））、地球或宇宙的性质（例如：标准重力、标准大气压、哈勃常数）、特定物质的性质（例如：水的熔点、水的密度、水的比热）、或甚至基本粒子的性质（例如：基本电荷、电子质量、质子质量）来定义的。普朗克单位制只以自由空间的性质（例如：真空光速、自由空间阻抗、玻尔兹曼常数）来定义及作为归一化对象。

有些学者认为普朗克单位制比其它自然单位制更为自然。例如，有些其它自然单位制使用电子质量为基本单位。但是电子只是许多种已知具有质量的基本粒子之一。这些粒子的质量都不一样。在基础物理学里，并没有任何绝对因素，促使选择电子质量为基本单位，而不选择其它粒子质量。

物质的量（摩尔）的自然单位就用“个”（一个就是1）就可以了，不必用到“摩尔”，而发光强度（烛光）的自然单位就用“瓦特/立弪”就可以了，因为这两者的比值仅为发光效率，而发光效率是没有单位量纲的，就跟角度（弪）以及精细结构常数一样，另外电荷的部分，虽然SI制的基本单位是电流而非电荷，但是实际上，电荷才是更基本的单位（就好比重力米制的基本单位是力而非质量，但是实际上，质量才是更基本的单位）。

（或者你也可以这样说：普朗克单位制也将阿伏伽德罗常量 $N_{A}$ 定为1，从而用“个”（一个就是1）作为物质的量的单位（对应国际单位制的摩尔），并且普朗克单位制不考虑发光强度（对应国际单位制的烛光），仅以辐射强度（对应国际单位制的“瓦特每立弪”来表示，就好比普朗克单位制不考虑等效剂量（对应国际单位制的西弗），仅以辐射剂量（对应国际单位制的戈雷）来表示，在普朗克单位制中，发光效率属于无量纲量，就跟弧度和立弪一样）

基本普朗克单位

每一个单位制都有一组基本单位。（在国际单位制里，长度的基本单位是米，时间的基本单位是秒，等等）在普朗克单位制里，长度的基本单位是普朗克长度，时间的基本单位是普朗克时间，等等。这些单位都是由表1的五个基础物理常量衍生的。表2展示出这些基本普朗克单位。

**表1：基础物理常量**
常数	符号	量纲	国际单位等值与不确定度^[1]
真空光速	$c\,\!$	LT⁻¹	299 792 458 m s⁻¹
万有引力常数	$G\,\!$	L³M⁻¹T⁻²	6.674 30(15)×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²
约化普朗克常数	$\hbar \,\!$	L²MT⁻¹	1.054 571 817…×10⁻³⁴ J s
真空电容率	$\epsilon _{0}\,\!$	L⁻³M⁻¹T²Q²	8.854 187 8128(13)×10⁻¹² F/m
玻尔兹曼常数	$k_{B}\,\!$	L²MT⁻²Θ⁻¹	1.380 649×10⁻²³ J K⁻¹

字键： $\mathrm {L} \,\!$ = 长度， $\mathrm {T} \,\!$ = 时间， $\mathrm {M} \,\!$ = 质量， $\mathrm {Q} \,\!$ = 电荷， $\Theta \,\!$ = 温度。因为定义的关系，光速、约化普朗克常数与玻尔兹曼常数的数值是精确值，不存在误差（在2019年以前，约化普朗克常数与玻尔兹曼常数的数值还不是精确值，反倒真空电容率的数值是精确值，只有光速从1983年以来一直都是精确值，见2019年国际单位制基本单位重新定义）。

**表2：基本普朗克单位**
单位名称	量纲	表达式		国际单位制等值
单位名称	量纲	普朗克洛伦兹-亥维赛单位制	普朗克高斯单位制	普朗克洛伦兹-亥维赛单位制	普朗克高斯单位制
普朗克长度	长度 (L)	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}$	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	6965572938000000000♠5.72938×10⁻³⁵ m	6965161623000000000♠1.61623×10⁻³⁵ m
普朗克质量	质量 (M)	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}$	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	6991613971000000000♠6.13971×10⁻⁹ kg	6992217647000000000♠2.17647×10⁻⁸ kg
普朗克时间	时间 (T)	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}$	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	6957191112000000000♠1.91112×10⁻⁴³ s	6956539115999999999♠5.39116×10⁻⁴⁴ s
普朗克电荷	电荷 (Q)	$q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c\epsilon _{0}}}$	$q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \hbar c\epsilon _{0}}}$	6981529081999999999♠5.29082×10⁻¹⁹ C	6982187555000000000♠1.87555×10⁻¹⁸ C
普朗克温度	温度 (Θ)	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}$	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G{k_{\text{B}}}^{2}}}}$	7031399674000000000♠3.99674×10³¹ K	7032141681000000000♠1.41681×10³² K

使用普朗克单位后，表1的五个基础物理常量的数值都约化为1，因此表2的普朗克长度，普朗克质量，普朗克时间，普朗克电荷，与普朗克温度这些计量也都约化为1。这可以无量纲地表达为

（普朗克洛伦兹-亥维赛单位制）因为 $c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{B}=1\,\!$ ，所以 $l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!$ 。

（普朗克高斯单位制）因为 $c=G=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!$ ，所以 $l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!$ 。

衍生普朗克单位

在任何单位系统里，许多物理量的单位是由基本单位衍生的。表3展示了一些在理论物理研究里常见的衍生普朗克单位。实际上，大多数普朗克单位不是太大，就是太小，并不适合于实验或任何实际用途。

**表3：衍生普朗克单位**
单位名称	量纲	表达式		国际单位制等值
单位名称	量纲	普朗克洛伦兹-亥维赛单位制	普朗克高斯单位制	普朗克洛伦兹-亥维赛单位制	普朗克高斯单位制
普朗克面积	面积（L²）	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}$	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	6931328258000000000♠3.28258×10⁻⁶⁹ m²	6930261220000000000♠2.61220×10⁻⁷⁰ m²
普朗克动量	动量（LMT⁻¹）	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}$	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	7000184064000000000♠1.84064 N⋅s	7000652489000000000♠6.52489 N⋅s
普朗克能量	能量（L²MT⁻²）	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}$	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	7008551809000000000♠5.51809×10⁸ J	7009195611000000000♠1.95611×10⁹ J
普朗克力	力（LMT⁻²）	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}$	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	7042963122000000000♠9.63122×10⁴² N	7044121029000000000♠1.21029×10⁴⁴ N
普朗克功率	功率（L²MT⁻³）	$P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}$	$P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	7051288737000000000♠2.88737×10⁵¹ W	7052362837000000000♠3.62837×10⁵² W
普朗克密度	密度（L⁻³M）	$d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}$	$d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	7094326456000000000♠3.26456×10⁹⁴ kg/m³	7096515518000000000♠5.15518×10⁹⁶ kg/m³
普朗克角频率	角频率（T⁻¹）	$\omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}$	$\omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	7042523254000000000♠5.23254×10⁴² rad/s	7043185488999999999♠1.85489×10⁴³ rad/s
普朗克压力	压力（L⁻¹MT⁻²）	$\Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}$	$\Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	7111293404000000000♠2.93404×10¹¹¹ Pa	7113463325000000000♠4.63325×10¹¹³ Pa
普朗克电流	电流（T⁻¹Q）	$i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\epsilon _{0}}{4\pi G}}}$	$i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi c^{6}\epsilon _{0}}{G}}}$	7024276844000000000♠2.76844×10²⁴ A	7025347893000000000♠3.47893×10²⁵ A
普朗克电压	电压（L²MT⁻²Q⁻¹）	$U_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {P_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi G\epsilon _{0}}}}$		7027104296000000000♠1.04296×10²⁷ V
普朗克阻抗	阻抗（L²MT⁻¹Q⁻²）	$Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{c\epsilon _{0}}}=c\mu _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=Z_{0}={\frac {1}{Y_{0}}}$	$Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi c\epsilon _{0}}}={\frac {c\mu _{0}}{4\pi }}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}={\frac {1}{4\pi Y_{0}}}$	7002376730000000000♠376.730 Ω	7001299792000000000♠29.9792 Ω

注： $Z_{0}$ 为自由空间阻抗， $Y_{0}$ 为自由空间导纳。

简化物理方程

严格地说，不同量纲的物理量，虽然它们的数值可能相等，仍旧不能用在相等式的两边。但是，在理论物理学里，为了简化运算，我们可以把这顾虑放在一边。简化的过程称为无量纲化。表4展示出普朗克单位怎样通过无量纲化使许多物理方程变得更简单。

**表4：物理方程与其无量纲形式**
	通常形式（国际单位制形式）	普朗克洛伦兹-亥维赛单位制形式	普朗克高斯单位制形式
万有引力定律	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!$
薛定谔方程	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ $=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ $=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!$
普朗克关系式	${E=\hbar \omega }\ \,\!$	${E=\omega }\ \,\!$
狭义相对论的质能方程	${E=mc^{2}}\ \,\!$	${E=m}\ \,\!$
广义相对论的爱因斯坦场方程	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!$	${G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }}\ \,\!$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!$
一个粒子的每个自由度的热能	${E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!$	${E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!$
库仑定律	$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$
麦克斯韦方程组	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$

参阅

参考文献

引用

^ NIST 的基礎物理常數. [2008-09-12]. （原始内容存档于2001-08-13）.

来源

Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218.（这是本简单易解的书）
Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants, ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11], （原始内容存档于2017-02-07）.（这篇文章评论基础物理常量可能随时间而改变）
Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants, Journal of High Energy Physics, 2002, 3: 023 [2008-09-11], doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023, （原始内容存档于2015-04-15）（关于到底有几个最基础的物理常量的对话）
Planck, Max, Über irreversible Strahlungsvorgänge, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5: 440–480 [2008-09-11], （原始内容存档于2009-04-03）.（除了普朗克电荷与普朗克常数以外，普朗克单位最先出现于这篇文章里面。）
Penrose, Roger. Section 31.1. The Road to Reality. New York: Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 0679454438.

外部链接

NIST 的基本物理常量数值列表，包括普朗克单位。（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[CODATA-1] NIST 的基礎物理常數. [2008-09-12]. （原始内容存档于2001-08-13）.

[1]

查论编普朗克单位制
基本单位	普朗克时间 · 普朗克长度 · 普朗克质量 · 普朗克电荷 · 普朗克温度 · 普朗克常数
衍生单位	普朗克能量 · 普朗克力 · 普朗克动量 · 普朗克功率 · 普朗克密度 · 普朗克角频率 · 普朗克压力 · 普朗克电流 · 普朗克电压 · 普朗克阻抗

查论编计量制度
米制	国际单位制 · 米-千克-秒制 · 厘米-克-秒制 · 米-吨-秒制 · 重力米制
自然单位制	高斯单位制 · 几何化单位制 · 普朗克单位制 · 史东纳单位制 · 洛伦兹-亥维赛单位制 · 原子单位制 · 量子色动力学单位制
常规单位	天文学单位 · 电学常规单位（英语：Conventional electrical unit） · 国际实用温标
日常单位	中国传统 · 常衡 · 药剂师（英语：Apothecaries' system） · 英制 · 缅甸 · 市制、营造尺库平制 · 康沃尔（英语：Old Cornish units of measurement） · 丹麦（英语：Danish units of measurement） · 荷兰（英语：Dutch units of measurement） · 英格兰（英语：English units） · 芬兰（英语：Finnish units of measurement） · 法国（英语：French units of measurement） · 德国（英语：German units of measurement） · 印度（英语：Hindu units of measurement） · 香港 · 爱尔兰（英语：Old Irish units of measurement） · 日本 · 马耳他（英语：Maltese units of measurement） · 挪威（英语：Norwegian units of measurement） · 勃固（英语：Pegu Weights and Measures） · 波兰（英语：Obsolete Polish units of measurement） · 葡萄牙（英语：Portuguese customary units） · 罗马尼亚（英语：Romanian units of measurement） · 俄罗斯（英语：Obsolete Russian units of measurement） · 苏格兰（英语：Obsolete Scottish units of measurement） · 西班牙（英语：Spanish customary units） · 瑞典（英语：Swedish units of measurement） · 台湾 · 鞑靼（英语：Obsolete Tatar units of measurement） · 奥斯曼（英语：Traditional Turkish units of measurement） · 金衡制 · 美制
古单位制	古希腊（英语：Ancient Greek weights and measures） · 古罗马（英语：Ancient Roman weights and measures） · 古埃及（英语：Ancient Egyptian weights and measures） · 古希伯来（英语：Biblical and Talmudic units of measurement） · 古阿拉伯（英语：Ancient Arabic units of measurement） · 古美索不达米亚（英语：Ancient Mesopotamian units of measurement） · 古波斯（英语：Persian units of measurement） · 印度单位制历史（英语：History of measurement systems in India） · 古法国
其他单位	非常规（英语：List of unusual units of measurement） · 法国常用单位（英语：Mesures usuelles） · N体单位（英语：N-body units）