Engel展开式 是一个正整数 数列
{
a
1
,
a
2
,
a
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},...\}}
实数 可以以一种唯一的方式表示成埃及分数 之和：
x
=
1
a
1
+
1
a
1
a
2
+
1
a
1
a
2
a
3
+
.
.
.
{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+...\;}
有理数 的展开式是有限的，无理数 的是无限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。
Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数 的上升变体。
x
=
1
+
1
+
1
+
⋯
a
3
a
2
a
1
.
{\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}
u
1
=
x
{\displaystyle u_{1}=x}
a
k
=
⌈
1
u
k
⌉
{\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil }
u
k
+
1
=
u
k
a
k
−
1
{\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}
⌈
r
⌉
{\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }
r
{\displaystyle r}
若
u
i
=
0
{\displaystyle u_{i}=0}
k
uk
ak
uk+1
1
3/7
3
2/7
2
2/7
4
1/7
3
1/7
7
0
3
7
=
1
3
+
1
3
×
4
+
1
3
×
4
×
7
{\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{3\times 4\times 7}}}
{
3
,
4
,
7
}
{\displaystyle \{3,4,7\}\;}
Engel, F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 1913. Kraaikamp, Cor; Wu, Jun . On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143 : 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3 
