反扭棱大星形十二面体

反扭棱大星形十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大逆五角六十面体
识别
名称	反扭棱大星形十二面体 great inverted snub icosidodecahedron great vertisnub icosidodecahedron
参考索引	U69, C73, W116
鲍尔斯缩写	gisid
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	sr{5⁄3,3}
威佐夫符号	| 5/3 2 3
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	(20+60)个正三角形 12个正五角星
顶点图	3.3.3.3.5⁄3
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
3.3.3.3.5⁄3 （顶点图） 大逆五角六十面体 （对偶多面体）

反扭棱大星形十二面体是一种星形均匀多面体，由80个正三角形和12个正五角星组成，索引为U₆₉，对偶多面体为大逆五角六十面体，具有二十面体群对称性。

性质

反扭棱大星形十二面体共由92个面、150条边和60个顶点组成。在其92个面中，有80个正三角形面和12个正五角星面。这80个三角形面中有60个来自扭棱变换。

顶角的组成

在反扭棱大星形十二面体的60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/3.3.3.3.3)来表示。

与扭棱大星形十二面体不同，反扭棱大星形十二面体中的五角星与周边面相接的方式相反，因而构成了一个几何上不同，但拓朴上相同的结构。其拓朴结构也与扭棱十二面体相同。

扭棱大星形十二面体	反扭棱大星形十二面体
将扭棱大星形十二面体的顶角视觉化的图形	将反扭棱大星形十二面体的顶角视觉化的图形

表示法

反扭棱大星形十二面体在考克斯特—迪肯符号中可以表示为，在施莱夫利符号中可以表示为sr{5⁄3,3}，在威佐夫记号中可以表示为| 5/3 2 3。

尺寸

若反扭棱大星形十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为：

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots$

其中$x$是$x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$的实根。 以$R^{2}$为变数的六次方程

$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$

共有4个实根，分别是扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体、反扭棱大星形十二面体和大反屈扭棱截半二十面体的外接球半径。

顶点座标

反扭棱大星形十二面体的顶点座标为下列座标的偶置换：

$\left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)$、

$\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)$、

$\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)$、

$\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)$和

$\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)$，

带有偶数个正号，其中

$\alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}$

且

$\beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}$

其中$\tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$为黄金比例、 $\xi$是方程式$\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}$的正实根，约为1.2224727。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话，则会得到反扭棱大星形十二面体的另一种形式，即另一种形式的手性对映体。

参见

• 均匀多面体列表
• 扭棱大星形十二面体