雅可比符號

在數論中，雅可比符號是勒讓德符號的一種推廣，首先由普魯士數學家卡爾·雅可比在1837年引進^[1]。雅可比符號在數論中的各個分支中都有應用，尤其是在計算數論的素性檢驗、大數分解以及密碼學中有重要作用。

定義

勒讓德符號 $({\tfrac {a}{p}})$ 是對於所有的正整數 $a$ 和所有的素數 $p$ 定義的。

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0\\+1\\-1\end{cases}}$	如果p整除a；
	如果存在整數 $X$ 使得 $X^{2}\equiv a{\pmod {p}}$ 且p不整除a
	如果不存在整數 $X$ 使得 $X^{2}\equiv a{\pmod {p}}$

.

；

.

當 $({\frac {a}{p}})=1$ 時，稱 $a$ 是模 $p$ 的二次剩餘；當 $({\frac {a}{p}})=-1$ 時，稱 $a$ 是模 $p$ 的二次非剩餘。

運用勒讓德符號計算時要將 $a$ 分解成標準形式，計算上十分麻煩，因此產生了雅可比符號：

設 $m$ 是一個正奇數，其質因數分解式為 $m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}$ ，並且正整數 $a$ 滿足 $(m,a)=1$ 那麼定義 $({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})$ 。

^ C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136

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