滑動模式控制 （sliding mode）簡稱SMC ，是一種非線性控制 的技術，利用不連續 的控制信號來調整非線性系統 的特性，強迫系統在二個系統的正常狀態之間滑動，最後進入穩態。其狀態 -反饋 控制律不是時間的連續函數 。相反的，控制律會依目前在狀態空間中的位置不同，可能從一個連續的控制系統切換到另一個連續的控制系統。因此滑動模型控制屬於變結構控制 。已針對滑動模型控制設計了許多的控制結構，目的是讓相空間圖中的軌跡可以前往和另一個控制結構之間相鄰的區域，因此最終的軌跡不會完全脫離某個控制結構。相反的，軌跡會在控制結構的邊界上「滑動」。這種沿着控制結構之間邊界滑動的行為稱為「滑動模式」[ 1] 變結構系統 （例如滑動模式控制）都可以視為是併合系統 的特例，因為系統有些時候會在連續的狀態空間中移動，也時也會在幾個離散的控制模式中切換。
圖1：利用滑動模式控制器控制之系統的相平面 軌跡。在一開始的接觸階段後，系統沿着
s
=
0
{\displaystyle s=0}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
s
=
x
1
+
x
˙
1
=
0
{\displaystyle s=x_{1}+{\dot {x}}_{1}=0}
線性時不變系統
x
˙
1
=
−
x
1
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}=-x_{1}}
指數穩定 。 滑動模式控制中存在滑動曲面
s
=
0
{\displaystyle s=0}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
指數穩定 。
直觀來說，滑動模式控制會配合很大的增益 （理想上可視為是無限大），強迫動態系統的軌跡無法離開滑動模式子空間太遠，必須沿着此子空間滑動。在降階滑動模式上的軌跡會有理想的動態特性（例如，系統會自然沿着此軌跡滑行，最後會停在理想的駐點 。滑動模式控制的主要優點是其強健性 。因為控制很簡單，是在二個狀態之間（例如開/關或是正轉/反轉）切換，控制法則不需要精確，而且不會受到控制系統中參數的變異所影響。而且因為控制律不是連續函數 ，滑動模式控制可以在有限時間內到達滑動曲面（比漸進到達的特性要好）在一些常見的條件下，最優控制 需要用到起停式控制 ，而滑動模式控制中也有用到起停式控制 的特性，有些滑動模式控制也是某些控制系統下的最優控制。
有些交換式電源供應器驅動的電機就是利用滑動模式控制[ 2] :"Introduction" 。這類轉換器本身就有不連續的特性，和不連續輸出的滑動模式控制器在本質上是一致的。使用連續性的控制器，還需要透過脈衝寬度調變 或是其他類似的技術[ nb 1] 機械人學 有許多的應用。此控制演算法特別已用在無人水面載具 模擬在有大風大浪海面下的運作，其成功率相當高[ 3] [ 4]
相較於其他有較多適度控制行為的非線性控制 ，滑動模式控制因為其不連續的輸出，在應用上需要更謹慎的應用。特別是因為致動器本身的延遲以及其他實務上的限制，硬切換的滑動模式控制會產生顫動、能量損失、設備損壞，或是激發一些系統中的未建模動態[ 5] :554–556 。連續性的控制器設計比較不會有上述的問題，而且也可以設計一些接近滑動模式控制器的特性[ 5] :556–563 。
考慮以下的非線性系統
x
˙
(
t
)
=
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\,\mathbf {u} (t)}
(
1
)
{\displaystyle (1)\,}
其中
x
(
t
)
≜
[
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
⋮
x
n
−
1
(
t
)
x
n
(
t
)
]
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}
是
n
{\displaystyle n}
狀態 向量 以及
u
(
t
)
≜
[
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
⋮
u
m
−
1
(
t
)
u
m
(
t
)
]
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}}
為表示狀態反饋 的
m
{\displaystyle m}
函數
f
:
R
n
×
R
↦
R
n
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{n}}
B
:
R
n
×
R
↦
R
n
×
m
{\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}
連續函數 ，而且有相當程度的光滑性 ，因此可以用柯西-利普希茨定理 確保方程 (1)的解
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
存在 及唯一 。
常見的作法是設計一個狀態回授的控制律
u
(
x
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}
t
{\displaystyle t}
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
穩定 方程式(1)的動力系統 在原點
x
=
[
0
,
0
,
…
,
0
]
T
{\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\text{T}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
平衡點 ）。滑動模式控制會強迫系統軌跡進入子空間，並且讓軌跡維持在子空間內，因此可以在子空間內滑動。這個降階的子空間稱為「滑動（超）曲面」，若透過閉迴路回授，使得軌跡在滑動曲面上滑動，則稱為閉迴路系統的「滑動模式」。沿着這個子空間的軌跡可以類比沿着LTI系統 特徵向量的軌跡，不過滑動模式是透過此向量場上加上高增益回授來實現。就像彈珠會沿着裂縫滾動一樣，系統的軌跡也會限制在滑動模式上。
滑動模式的控制架構包括以下幾項：
選擇超曲面 或是流形（滑動曲面）讓系統軌跡限制在此流形上時，可以有理想的特性。
選擇回授增益，讓系統軌跡可以和流形相交，而且之後可以維持在流形上。 因為滑動模式控制是不連續的，控制器可以在有限時間內將軌跡帶到滑動模式上（若偏離滑動平面時，回到滑動平面上的穩定性會比漸近穩定要好）。不過，只要軌跡接觸到滑動平面後，系統的特性會依照滑動模式的特性（也就是滑動平面上，在原點
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
在設計滑動模式時，會選擇一個切換函數
σ
:
R
n
↦
R
m
{\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}}
在滑動平面外的狀態
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}
在滑動平面上的狀態
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
滑動模式控制律會依照上述距離的正負號在二種不同的狀態之間進行切換。因此滑動模式控制就類似一個硬的壓力，將系統軌跡移到
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
地形圖 ，有恆定高度的輪廓，而軌跡會限制在恆定高度的輪廓上移動。
滑動（超）曲面的維度是
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
m
{\displaystyle m}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
1
≤
k
≤
m
{\displaystyle 1\leq k\leq m}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
{
x
∈
R
n
:
σ
k
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma _{k}(\mathbf {x} )=0\right\}}
(
2
)
{\displaystyle (2)\,}
滑動模式控制主要關鍵是選擇控制律，使得滑動模式（也就是
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
為了強迫系統狀態
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
確認系統可以從任意的初始條件到達
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
在到達
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
此控制律不是連續函數 ，也不會是利普希茨連續 ，因此無法用柯西-利普希茨定理 確保閉迴路解的存在及唯一性。這個解需要用Filippov [ 1] [ 6]
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
˙
(
x
)
=
0
;
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}
脈波振幅調變 或ΔΣ調變 產生的輸出是兩個狀態組成而成，但其有效的輸出會在連續的運動範圍內擺動。若是使用其他具有連續特性的非線性控制 設計可以避免這類的問題。有些情形下，滑動模式控制的設計可以用其他連續控制器來近似。[ 5]
以下定理是滑動模式控制的基礎。
考慮以下的李亞普諾夫候選函數
V
(
σ
(
x
)
)
=
1
2
σ
T
(
x
)
σ
(
x
)
=
1
2
‖
σ
(
x
)
‖
2
2
{\displaystyle V(\sigma (\mathbf {x} ))={\frac {1}{2}}\sigma ^{\text{T}}(\mathbf {x} )\sigma (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}^{2}}
(
3
)
{\displaystyle (3)\,}
其中
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}
歐幾里德範數 （也就是說，
‖
σ
(
x
)
‖
2
{\displaystyle \|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}}
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
針對由方程式(1)及方程式(1)的滑動曲面組成的系統，滑動模式存在的充份條件是
σ
T
⏞
∂
V
∂
σ
σ
˙
⏞
d
σ
d
t
⏟
d
V
d
t
<
0
(i.e.,
d
V
d
t
<
0
)
{\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}}
在
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
簡單來說（例如針對
m
=
1
{\displaystyle m=1}
純量 控制應用），為了要使
σ
T
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma ^{\text{T}}{\dot {\sigma }}<0}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
當
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
˙
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}
當
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
˙
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}
注意
σ
˙
=
∂
σ
∂
x
x
˙
⏞
d
x
d
t
=
∂
σ
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}}
因此回授控制律
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
為了要確保可以在有限時間內進入滑動模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
d
V
/
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} V/{\operatorname {d} t}}
[ 7]
d
V
d
t
≤
−
μ
(
V
)
α
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }}
其中
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
0
<
α
≤
1
{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
比較引理的說明 引理的條件確認在滑動模式
V
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle V\in [0,1]}
d
V
d
t
≤
−
μ
(
V
)
α
≤
−
μ
V
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }\leq -\mu {\sqrt {V}}.}
因此，針對
V
∈
(
0
,
1
]
{\displaystyle V\in (0,1]}
1
V
d
V
d
t
≤
−
μ
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ,}
根據鏈式法則 （也就是
d
W
/
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} W/{\operatorname {d} t}}
W
≜
2
V
{\displaystyle W\triangleq 2{\sqrt {V}}}
D
+
(
2
V
⏞
∝
‖
σ
‖
2
⏟
W
)
⏟
D
+
W
≜
Upper right-hand
W
˙
=
1
V
d
V
d
t
≤
−
μ
{\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \|\sigma \|_{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu }
其中
D
+
{\displaystyle D^{+}}
2
V
{\displaystyle 2{\sqrt {V}}}
狄尼上導數
∝
{\displaystyle \propto }
比例 。因此將上式和曲線
z
(
t
)
=
z
0
−
μ
t
{\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t}
z
(
0
)
=
z
0
{\displaystyle z(0)=z_{0}}
z
˙
=
−
μ
{\displaystyle {\dot {z}}=-\mu }
2
V
(
t
)
≤
V
0
−
μ
t
{\displaystyle 2{\sqrt {V(t)}}\leq V_{0}-\mu t}
t
{\displaystyle t}
V
≥
0
{\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0}
V
{\displaystyle {\sqrt {V}}}
V
=
0
{\displaystyle {\sqrt {V}}=0}
V
{\displaystyle V}
V
=
0
{\displaystyle V=0}
[ 5]
V
{\displaystyle {\sqrt {V}}}
σ
{\displaystyle \sigma }
‖
⋅
‖
2
{\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|_{2}}
針對方程式 (1)的系統，以及方程式 (2)的滑動曲面，
{
x
∈
R
n
:
σ
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}}
{
x
∈
R
n
:
σ
T
(
x
)
σ
˙
(
x
)
<
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\text{T}}(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}}
也就是說，當初始條件完全由這個空間出發時，李亞普諾夫候選函數
V
(
σ
)
{\displaystyle V(\sigma )}
李亞普諾夫函數 ，而且
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
V
˙
{\displaystyle {\dot {V}}}
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
令
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x} }}}B(\mathbf {x} ,t)}
為非奇異 的，也就是說，系統有某種可控制性 使得永遠存在一種控制方式可以讓軌跡更靠近滑動模式。只要達到了滑動模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
σ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbf {0} }
若相對微分方程在
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
平衡 是穩定 的，則系統會沿着滑動模式表面往平衡點移動。
滑動模式下的「等效控制律」可以透過求解下式求得
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}
等效控制律為
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
∂
σ
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }
因此等效控制
u
=
−
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)}
也就是說，就算實際的控制
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
連續 ，在滑動模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
類似的，在滑動模式上的系統軌跡類似
x
˙
=
f
(
x
,
t
)
−
B
(
x
,
t
)
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
f
(
x
,
t
)
⏞
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
=
f
(
x
,
t
)
(
I
−
B
(
x
,
t
)
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\right)}
所得的系統符合滑動模式的微分方程
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
只要滑動模式表面
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
李雅普諾夫穩定性 ，從到達相位的軌跡條件可以簡化為上述較簡單的條件。因此系統在找到滑動模式後，會經過一些初始的暫態，之後就可以假定為符合較簡單的
σ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}=0}
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
依照上述定理，滑動運動對於由進入系統時足夠小的擾動是不敏感的，只要控制項大到足以滿足
σ
T
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma ^{\text{T}}{\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
魯棒控制 。
如同以上提到的，滑動模式控制律會維持以下的限制
x
˙
+
x
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}+x=0}
目的是為了讓以下型態的任意系統可以漸近的穩定
x
¨
=
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
{\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}
其中
a
(
⋅
)
{\displaystyle a(\cdot )}
x
˙
=
−
x
{\displaystyle {\dot {x}}=-x}
（也就是說，
x
˙
+
x
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}+x=0}
穩定 的線性系統 ，因此在
(
x
,
x
˙
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
考慮一個由方程(1)描述的受控體 ，有單一輸入
u
{\displaystyle u}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
σ
(
x
)
≜
s
1
x
1
+
s
2
x
2
+
⋯
+
s
n
−
1
x
n
−
1
+
s
n
x
n
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\cdots +s_{n-1}x_{n-1}+s_{n}x_{n}}
(
4
)
{\displaystyle (4)\,}
其中的加權
s
i
>
0
{\displaystyle s_{i}>0}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
單純形
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}
因此
s
1
x
˙
1
+
s
2
x
˙
2
+
⋯
+
s
n
−
1
x
˙
n
−
1
+
s
n
x
˙
n
=
0
{\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0}
這是降階系統（新系統的階數為
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
李亞普諾夫函數 的導數，可得
V
˙
(
σ
(
x
)
)
=
σ
(
x
)
T
⏞
∂
σ
∂
x
σ
˙
(
x
)
⏞
d
σ
d
t
{\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}}
為了要確保
V
˙
{\displaystyle {\dot {V}}}
負定函數 （也就是
V
˙
<
0
{\displaystyle {\dot {V}}<0}
σ
=
0
{\displaystyle \mathbf {\sigma } =0}
李雅普諾夫穩定性 ），需選擇回授控制律
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
{
σ
˙
<
0
if
σ
>
0
σ
˙
>
0
if
σ
<
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}}
因此
σ
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
(
x
)
=
∂
σ
(
x
)
∂
x
x
˙
⏞
σ
˙
(
x
)
=
∂
σ
(
x
)
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
=
[
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
]
⏞
∂
σ
(
x
)
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
⏟
( i.e., an
n
×
1
vector )
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}
(
5
)
{\displaystyle (5)\,}
控制律
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
u
(
x
)
=
{
u
+
(
x
)
if
σ
(
x
)
>
0
u
−
(
x
)
if
σ
(
x
)
<
0
{\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}
其中
u
+
(
x
)
{\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
u
−
(
x
)
{\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
所得的軌跡會往滑動曲面
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
¨
=
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
{\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}
可以用二維的狀態空間 （其中with
x
1
=
x
{\displaystyle x_{1}=x}
x
2
=
x
˙
{\displaystyle x_{2}={\dot {x}}}
{
x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
a
(
t
,
x
1
,
x
2
)
+
u
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}}
也假設
sup
{
|
a
(
⋅
)
|
}
≤
k
{\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
k
{\displaystyle k}
σ
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
+
x
2
=
x
+
x
˙
{\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}}
在之前的例子中，必須選擇回授控制律
u
(
x
,
x
˙
)
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})}
σ
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
=
x
˙
1
+
x
˙
2
=
x
˙
+
x
¨
=
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
⏞
x
¨
{\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}}
當
x
+
x
˙
<
0
{\displaystyle x+{\dot {x}}<0}
σ
<
0
{\displaystyle \sigma <0}
σ
˙
>
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}>0}
u
>
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
當
x
+
x
˙
>
0
{\displaystyle x+{\dot {x}}>0}
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
σ
˙
<
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}<0}
u
<
−
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
不過，因為三角不等式 ，
|
x
˙
|
+
|
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
≥
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
依照
|
a
|
{\displaystyle |a|}
|
x
˙
|
+
k
+
1
>
|
x
˙
|
+
|
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|}
因此系統可以利用以下的控制律進行回授穩定（回到滑動模式）
u
(
x
,
x
˙
)
=
{
|
x
˙
|
+
k
+
1
if
x
+
x
˙
⏟
<
0
,
−
(
|
x
˙
|
+
k
+
1
)
if
x
+
x
˙
⏞
σ
>
0
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}
可以表示為以下的解析解
u
(
x
,
x
˙
)
=
−
(
|
x
˙
|
+
k
+
1
)
sgn
(
x
˙
+
x
⏞
σ
)
⏟
(i.e., tests
σ
>
0
)
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}}
假設系統軌跡會受限制，因此
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
˙
=
−
x
(i.e.,
σ
(
x
,
x
˙
)
=
x
+
x
˙
=
0
)
{\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}}
因此只要系統進入滑動模式，系統的二維動態特性會像一維的系統，而且在
(
x
,
x
˙
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
駐點 。 在設計滑動模式的控制系統時，雖然有許多不同的理論，不過沒有一個高效率的設計方法論，原因因為解析方法及數值方法實務上的困難。像是基因演算法 之類可復用的方式，可以用來將最佳設計 [ 8]
^ 1.0 1.1 Zinober, A.S.I. (編). Deterministic control of uncertain systems . London: Peter Peregrinus Press. 1990. ISBN 978-0-86341-170-0 ^ Utkin, Vadim I. Sliding Mode Control Design Principles and Applications to Electric Drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics (IEEE). 1993, 40 (1): 23–36. doi:10.1109/41.184818 ^ " Autonomous Navigation and Obstacle Avoidance of Unmanned Vessels in Simulated Rough Sea States - Villanova University" [2017-07-11 ] . （原始內容存檔 於2021-02-04）. ^ Mahini; et al. An experimental setup for autonomous operation of surface vessels in rough seas. Robotica. 2013, 31 (5): 703–715. doi:10.1017/s0263574712000720 ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2017-08-09 ] . ISBN 0-13-067389-7存檔 於2017-07-25）. ^ Filippov, A.F. Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides. Kluwer. 1988. ISBN 978-90-277-2699-5 ^ Perruquetti, W.; Barbot, J.P. Sliding Mode Control in Engineering . Marcel Dekker Hardcover. 2002. ISBN 0-8247-0671-4 ^
Li, Yun; et al. Genetic algorithm automated approach to the design of sliding mode control systems (PDF) . International Journal of Control. 1996, 64 (3): 721–739. doi:10.1080/00207179608921865
![{\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\text{T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda44ad2c8056fef71ad87641dc54d19804d2b1a)
![{\displaystyle V\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3f7b41a454e2fe2a6c9b33fbb6b5ba54b94c6b)
![{\displaystyle V\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4010b1a43952629bdb6b144b4ab5b2215a56ff)
![{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83addfbda19106b2d11cc1e40c0e0eaf94805c6c)
