可積函數

數學上，可積函數是存在積分的函數。除非特別指明，一般積分是指勒貝格積分。否則，稱函數為"黎曼可積"（也即黎曼積分存在），或者"Henstock-Kurzweil可積"，等等。

注意，函數可以有不定積分（反導數），而並不在如下的定義中可積。例如函數

$F(x)=\sin(x)$

是

$f(x)=\cos(x)$

的不定積分，但是f(x)不是實數上的可積函數。這種情況在不定積分在每個方向都有極限的時候也可能成立，例如

$F(x)=\sin(x)/x$ $(x\geq 1)$

其導數$f(x)=\cos(x)/x-\sin(x)/x^{2}$不是從1到無窮可積的。積分區間不是無窮的時候也會出現這種情況，譬如不定積分

$F(x)=x\sin(1/x)$ $(0<x\leq 1)$

其導數$f(x)=\sin(1/x)-\cos(1/x)/x$不是從0到1可積的。（無論f(x)在0點取何值，它都是在該點不連續的，而F'(0)無定義，所以微積分基本定理在[0, 1]上不適用。）

勒貝格可積性

給定集合X及其上的σ-代數σ和σ上的一個測度，實值函數f:X → R是可積的如果正部f ⁺和負部f ⁻都是可測函數並且其勒貝格積分有限。令

$f^{+}=\max(f,0),\ f^{-}=\max(-f,0)$

為f的"正部"和"負部"。如果f可積，則其積分定義為

$\int f=\int f^{+}-\int f^{-}.$

對於實數 p ≥ 0，函數f是p-可積的如果|f|^p是可積的；對於p = 1，也稱絕對可積。（注意f(x)是可積的當且僅當|f(x)|是可積的，所以"可積"和"絕對可積"在勒貝格意義下等價。）術語p-可和也是一樣的意義，常用於f是一個序列，而μ是離散測度的情況下。

這些函數組成的L ^p空間是泛函分析研究中的主要物件之一。

平方可積

我們說一個實變或者復變量的實值或者複值函數是在區間上平方可積的，如果其絕對值的平方在該區間上的積分是有限的。所有在勒貝格積分意義下平方可積的可測函數構成一個希爾伯特空間，也就是所謂的L²空間，幾乎處處相等的函數歸為同一等價類。形式上，L²是平方可積函數的空間和幾乎處處為0的函數空間的商空間。

這在量子力學上很有用，因為波函數必須在空間上平方可積才能從理論中得到物理可能解。