劉維爾數

如果一個實數$x$滿足，對任意正整數$n$，存在整數$p,q$，其中$q>1$有

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$

就把$x$叫做劉維爾數。

法國數學家劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數，第一次說明了超越數的存在。

基本性質

容易證明，劉維爾數一定是無理數。若不然，則$x={\frac {c}{d}},(c,d\in \mathbb {Z} ,d>0)$。 取足夠大的$n$使${2^{n-1}}>d$，在${\frac {c}{d}}\neq {\frac {p}{q}}$時有

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-dp}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$

與定義矛盾。

劉維爾常數

即

$c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots$

這是一個劉維爾數。取

$p_{n}=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},\quad q_{n}=10^{n!}$

那麼對於所有正整數$n$

$\left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+{}\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}.$

超越性

所有劉維爾數都是超越數，但反過來並不對。例如，著名的e和$\pi$就不是劉維爾數。實際上，有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

證明

劉維爾定理：若無理數$\alpha$是代數數，即整係數$n$次多項式$f$的根，那麼存在實數$A>0$，對於所有$p,q\in \mathbb {Z} ,q>0$有

$\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}$

證明：令$M=\max \left\{\left|f'(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}$，記$f$的其它的不重複的根為 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$，取這樣的A

$0<A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)$

如果存在使定理不成立的$p,q$，就有

$\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)$

那麼，${\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}$

據拉格朗日中值定理，存在$\alpha$和${\frac {p}{q}}$之間的$x_{0}$使得

$f(\alpha )-f(p/q)=(\alpha -p/q)\cdot f'(x_{0})$

有

$\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert =\left\vert f(\alpha )-f(p/q)\right\vert /\left\vert f'(x_{0})\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \,$

$f$是多項式，所以

$\left\vert f(p/q)\right\vert =\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right\vert ={\frac {\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right\vert }{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$

由於$\left|f'(x_{0})\right|\leq M$和$1/M>A$

$\left\vert \alpha -p/q\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \geq 1/(Mq^{n})>A/q^{n}\geq \left\vert \alpha -p/q\right\vert$

矛盾。

證明劉維爾數是超越數：有劉維爾數$x$，它是無理數，如果它是代數數則

$\exists n\in \mathbb {Z} ,A>0\forall p,q\left(\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}\right)$

取滿足${\frac {1}{2^{r}}}\leq A$的正整數$r$，並令$m=r+n$，存在整數$a,b$其中 $b>1$有

$\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}$

與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

參見

• 丟番圖逼近

外部連結

• The Beginning of Transcendental Numbers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）