極限序數

極限序數是非零非後繼序數的序數。直覺的說，有不能通過後繼運算 S 觸及的序數。使用嚴格的術語，我們稱 λ 是極限序數，若且唯若存在 α < λ 並且對於任何 β < λ，存在 γ 使得 β < γ < λ。換句話說，一個序數是極限序數，若且唯若它等於其下的所有序數的上確界，但不是零。在這個上下文中的術語極限有關於在序數上的序拓撲；極限序數完全對應於在這個拓撲中的極限點。

關於 0 是否應被分類為極限序數是有爭議的，因為它沒有直接前驅；有些教科書包括 0 在極限序數的類中，如。而其他人排除了它，如。

例子

因為序數的類是良序的，有最小的無限極限序數；指示為 ω。這個序數 ω 也是最小的無限序數（忽略「極限」），因為它是自然數的最小上界。所以 ω 表示自然數的序類型。在這第一個之上的下一個極限序數是 ω + ω = ω·2，和接着的對於任何自然數 n 的ω·n。採用所有 ω·n 的併集（在任何的序數集合上的上確界運算），我們得到 ω·ω = ω²。重複這個過程如下可以生成：

$\omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}},\ldots$

一般的說，通過乘法、指數、重複指數等等所有這些遞歸定義生成極限序數。迄今為止討論的序數仍是可數的序數；可以證明不存在遞歸可枚舉方案來命名所有可數的序數。

超越可數的序數，首個不可數序數通常指示為 ω₁。它也是極限序數。

接着你可以獲得如下序數（所有這些序數在勢上現在都是遞增的）:

$\omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }},\ldots$

一般的說，在採用沒有最大元素的序數集合的併集的時候我們總是得到極限序數。

性質

後繼序數和極限序數（不同的共尾）的類還有零耗盡整個序數的類，所以這些情況經常用於通過超限歸納法的證明或通過超限遞歸的定義。極限序數表示在這種過程中的一類「轉折點」，在其中必須使用極限運算比如採用在所有前驅序數上的併集。在原理上，你在極限序數上做任何事情，但是採用併集在序拓撲中是連續的，並且這通常是想要的。

如果我們使用馮·諾伊曼基數指派，所有無限基數也是極限序數（並且這是一個合適的觀察，因為基數（cardinal）演化自拉丁語「cardo」，意味着轉軸或轉折點!)：這個事實的證明可簡單的通過旅館無窮論證來證實所有無限後繼序數等勢（equinumerous）於極限序數來完成。

基數有自己的後繼關係和極限的概念（所有事情都會升級到更高層次!）.

參見

• 序數算術
• 極限基數