頻閃觀測器 以每秒25畫面捕捉到的籃球碰撞地面的彈跳運動。忽略空氣阻力 ，球碰撞地面之後與之前的彈跳高度比率，取其平方根 ，可求得這球與地面碰撞的恢復係數。恢復係數 （coefficient of restitution ）衡量兩個物體在碰撞 後的反彈程度。假若恢復係數為1，則此碰撞為彈性碰撞 ；假若恢復係數小於1而大於0，則此碰撞為非彈性碰撞 ；假若恢復係數為0，則此碰撞為完全非彈性碰撞 ，兩個物體黏貼在一起。
恢復係數是兩個碰撞物體之間的共同性質。但是，時常在文獻中，恢復係數會被表現為單獨物體所具有的內秉性質，而隻字不提這物體到底是與哪個物體相互碰撞。在這狀況裏，第二個物體被假定為完美彈性剛體 。
恢復係數通常在0與1之間；但理論上，恢復係數可以大於1。這代表一種產生出動能 的碰撞案例。例如，當兩個地雷 碰撞在一起，引起爆炸。近期一些研究發現，「斜碰撞」（oblique collision ）的恢復係數可以大於1的特別案例。這是因為當圓球碰到軟牆時，回彈軌道改變而發生的現象。[ 1] [ 2] [ 3]
恢復係數的數值也可以小於0，這代表另一種碰撞案例，這意味着，其中一個物體會超過另外一個物體，例如，子彈穿過了彈靶。[ 4]
恢復係數是兩個物體相互碰撞的特性，而不是單獨物體的屬性。如果用 5 種不同的物體作碰撞實驗，則會有
(
5
2
)
=
10
{\displaystyle {5 \choose 2}=10}
至少在高爾夫球 運動社團，恢復係數已經融入日常詞彙裏了。這是因為高爾夫球桿廠商製造出一種長打桿，由於其桿頭的桿面很薄，會產生一種特別的「跳躍床效應」，當桿面的壓縮與恢復的自然頻率 相近於高爾夫球壓縮與恢復的自然頻率時，則在恢復期間，桿面會給予高爾夫球額外的推力，能夠將球打的更遠。通常，高爾夫球的自然頻率大約為800-1300 Hz，比桿面的自然頻率低很多。採用鈦 材料，能夠製出體積更大的桿頭、厚度更薄的桿面，從而降低桿面的自然頻率。根據實驗查證，150 cc體積不銹鋼 桿頭的自然頻率大約為1800 Hz，而較大的250-300 cc體積鈦桿頭的自然頻率大約為1200 Hz。另外，將鈦桿面的厚度從6.35 mm減少到2.54 mm，可以提升恢復係數大約15%。應用跳躍床效應，假若桿面的自然頻率在高爾夫球的自然頻率附近，則恢復係數可以提升12%之多，這對應於大約提升發球初始速度5%。為了要最佳化跳躍床效應，必需匹配桿面與高爾夫球的自然頻率。[ 5] [ 6]
國際網球總會 對於比賽用網球 有很嚴格的規定。網球的恢復係數必需在0.73與0.76之間；對於高海拔比賽（超過海平面4000英呎以上），網球的恢復係數則必需在0.69與0.76之間。[ 7]
國際桌球總會 規定，從30.5 cm高度自由掉落的桌球 ，當碰撞到標準鋼鐵 板塊後，應該彈回至24–26 cm高度，這對應為恢復係數在0.89與0.92之間。[ 8]
對於鋪在混凝土 上的油氈 （linoleum ）硬地板，真實皮革籃球的恢復係數大約在0.81與0.85之間，而合成皮革籃球的恢復係數大約在0.79與0.84之間。[ 9]
碰撞前時期 壓縮時期 恢復時期 碰撞後時期 整個碰撞過程可以分為四個時期。在「碰撞前時期」，兩個物體朝着碰撞對方移動，但尚未接觸到對方。從兩個物體互相接觸開始，然後互相壓縮對方，施加壓縮力於對方，兩個物體各自質心之間的距離越來越近，直到無法再繼續壓縮為止，這段時期是「壓縮時期」。緊接着是「恢復時期」，由於恢復力的作用，兩個物體開始恢復先前的形狀，兩個物體各自質心之間的距離越來越遠，直到不再接觸對方為止。最後是「碰撞後時期」，兩個物體完全分離，朝着不同方向越移動越遠。
假定「無磨擦模型」，壓縮力與恢復力正切於物體接觸面的分量為零，只有沿着衝擊線L的分量不等於零；另外，其它作用力可以被忽略。那麼，兩個物體在碰撞後的分離速度與碰撞前的接近速度，這兩個速度對於衝擊線L的分量 的絕對值 比率，就是恢復係數，以方程式表達為[ 10]
C
r
=
|
u
f
⋅
n
^
u
i
⋅
n
^
|
{\displaystyle C_{r}=\left|{\frac {\mathbf {u} _{f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{\mathbf {u} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}}\right|}
其中，
C
r
{\displaystyle C_{r}}
u
f
{\displaystyle \mathbf {u} _{f}}
u
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}}
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
質心 的直線。
接近速度
u
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}}
u
f
{\displaystyle \mathbf {u} _{f}}
u
i
=
v
1
i
−
v
2
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}=\mathbf {v} _{1i}-\mathbf {v} _{2i}}
u
f
=
v
1
f
−
v
2
f
{\displaystyle \mathbf {u} _{f}=\mathbf {v} _{1f}-\mathbf {v} _{2f}}
其中，
v
1
i
{\displaystyle \mathbf {v} _{1i}}
v
1
f
{\displaystyle \mathbf {v} _{1f}}
v
2
i
{\displaystyle \mathbf {v} _{2i}}
v
2
f
{\displaystyle \mathbf {v} _{2f}}
根據這定義，恢復係數是正值，不能小於0。對於一些特別狀況，可以採用另一種恢復係數的定義，則恢復係數可能會是負值。這定義以方程式表達為[ 4]
C
r
=
−
u
f
⋅
n
^
u
i
⋅
n
^
{\displaystyle C_{r}=-\ {\frac {\mathbf {u} _{f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{\mathbf {u} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}}}
更嚴謹地定義，兩個物體碰撞的恢復係數
C
r
{\displaystyle C_{r}}
[ 4]
C
r
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
F
1
r
⋅
n
^
d
t
∫
t
0
t
1
F
1
c
⋅
n
^
d
t
=
∫
t
1
t
2
F
2
r
⋅
n
^
d
t
∫
t
0
t
1
F
2
c
⋅
n
^
d
t
{\displaystyle C_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{1r}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t}{\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} _{1c}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t}}={\frac {\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{2r}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t}{\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} _{2c}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t}}}
其中，
F
1
c
{\displaystyle \mathbf {F} _{1c}}
F
1
r
{\displaystyle \mathbf {F} _{1r}}
作用力 ，
F
2
c
{\displaystyle \mathbf {F} _{2c}}
F
2
r
{\displaystyle \mathbf {F} _{2r}}
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
t
1
{\displaystyle t_{1}}
t
2
{\displaystyle t_{2}}
這分式 的分母 、分子 分別是物體在壓縮時期與恢復時期所感受到的衝量 。由於
F
1
r
{\displaystyle \mathbf {F} _{1r}}
F
2
r
{\displaystyle \mathbf {F} _{2r}}
F
1
c
{\displaystyle \mathbf {F} _{1c}}
F
2
c
{\displaystyle \mathbf {F} _{2c}}
牛頓第三定律 ，
F
1
r
=
−
F
2
r
{\displaystyle \mathbf {F} _{1r}=-\mathbf {F} _{2r}}
F
1
c
=
−
F
2
c
{\displaystyle \mathbf {F} _{1c}=-\mathbf {F} _{2c}}
思考一維碰撞案例，則所有的速度都是純量 。設定坐標軸為x-軸，與正x-軸同方向的運動的速度為正值，反方向的運動的速度為負值。恢復係數可以表達為
C
r
=
−
u
f
u
i
=
v
2
f
−
v
1
f
v
1
i
−
v
2
i
{\displaystyle C_{r}=-{\frac {u_{f}}{u_{i}}}={\frac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}}}
其中，
v
1
i
{\displaystyle v_{1i}}
v
1
f
{\displaystyle v_{1f}}
v
2
i
{\displaystyle v_{2i}}
v
2
f
{\displaystyle v_{2f}}
假設一個物體碰撞的另一個物體是固定不動，像地板、牆壁，則恢復係數為
C
r
=
v
f
v
i
{\displaystyle C_{r}={\frac {v_{f}}{v_{i}}}}
其中，
v
i
{\displaystyle v_{i}}
速率 ，
v
f
{\displaystyle v_{f}}
假設，一個自由落體 碰撞到剛硬地面，然後反彈起來，則其恢復係數是
C
r
=
h
H
{\displaystyle C_{r}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}
其中，
H
{\displaystyle H}
h
{\displaystyle h}
延伸至多維空間，相關的速度，皆為物體移動速度對於衝擊線的分量（衝擊線與碰撞點的正切線或正切面S相垂直）；而物體平行於正切線或正切面的移動速度，仍舊保持不變。
從衝量 的定義，可以得到
∫
t
0
t
1
F
1
c
⋅
n
^
d
t
=
m
1
v
c
−
m
1
v
1
i
⋅
n
^
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} _{1c}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t=m_{1}v_{c}-m_{1}\mathbf {v} _{1i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}
∫
t
0
t
1
F
2
c
⋅
n
^
d
t
=
m
2
v
c
−
m
2
v
2
i
⋅
n
^
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} _{2c}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t=m_{2}v_{c}-m_{2}\mathbf {v} _{2i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}
∫
t
1
t
2
F
1
r
⋅
n
^
d
t
=
m
1
v
1
f
⋅
n
^
−
m
1
v
c
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{1r}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t=m_{1}\mathbf {v} _{1f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}-m_{1}v_{c}}
∫
t
1
t
2
F
2
r
⋅
n
^
d
t
=
m
2
v
2
f
⋅
n
^
−
m
2
v
c
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{2r}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ \mathrm {d} t=m_{2}\mathbf {v} _{2f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}-m_{2}v_{c}}
其中，
v
c
{\displaystyle v_{c}}
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
從這些積分式與恢復係數的嚴謹定義式，可以得到
m
1
v
1
f
⋅
n
^
−
m
1
v
c
=
C
r
(
m
1
v
c
−
m
1
v
1
i
⋅
n
^
)
{\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}-m_{1}v_{c}=C_{r}(m_{1}v_{c}-m_{1}\mathbf {v} _{1i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})}
m
2
v
2
f
⋅
n
^
−
m
2
v
c
=
C
r
(
m
2
v
c
−
m
2
v
2
i
⋅
n
^
)
{\displaystyle m_{2}\mathbf {v} _{2f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}-m_{2}v_{c}=C_{r}(m_{2}v_{c}-m_{2}\mathbf {v} _{2i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})}
所以，
v
c
{\displaystyle v_{c}}
v
c
=
(
v
1
f
+
C
r
v
1
i
)
⋅
n
^
1
+
C
r
=
(
v
2
f
+
C
r
v
2
i
)
⋅
n
^
1
+
C
r
{\displaystyle v_{c}={\frac {(\mathbf {v} _{1f}+C_{r}\mathbf {v} _{1i})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{1+C_{r}}}={\frac {(\mathbf {v} _{2f}+C_{r}\mathbf {v} _{2i})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{1+C_{r}}}}
再經過一番運算，可以得到恢復係數的另一種定義式
C
r
=
(
v
2
f
−
v
1
f
)
⋅
n
^
(
v
1
i
−
v
2
i
)
⋅
n
^
=
−
u
f
⋅
n
^
u
i
⋅
n
^
{\displaystyle C_{r}={\frac {(\mathbf {v} _{2f}-\mathbf {v} _{1f})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{(\mathbf {v} _{1i}-\mathbf {v} _{2i})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}}=-\ {\frac {\mathbf {u} _{f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{\mathbf {u} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}}}
假設第二個物體固定不動，則
v
2
i
=
v
2
f
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} _{2i}=\mathbf {v} _{2f}={\boldsymbol {0}}}
C
r
=
−
v
1
f
⋅
n
^
v
1
i
⋅
n
^
=
v
f
v
i
{\displaystyle C_{r}=-\ {\frac {\mathbf {v} _{1f}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}{\mathbf {v} _{1i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}}={\frac {v_{f}}{v_{i}}}}
假設第一個物體是自由落體，從高度
H
{\displaystyle H}
h
{\displaystyle h}
能量守恆定律 ，
m
1
g
H
=
m
1
v
i
2
/
2
{\displaystyle m_{1}gH=m_{1}{v_{i}}^{2}/2}
m
1
g
h
=
m
1
v
f
2
/
2
{\displaystyle m_{1}gh=m_{1}{v_{f}}^{2}/2}
因此，恢復係數與自由落體彈跳高度的關係為
C
r
=
v
f
v
i
=
h
H
{\displaystyle C_{r}={\frac {v_{f}}{v_{i}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}
使用恢復係數，可以用方程式來計算彈性碰撞、完全非彈性碰撞、非彈性碰撞，這些碰撞事件後的速度：
v
1
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
+
C
r
m
2
(
v
2
i
−
v
1
i
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}+C_{r}m_{2}(v_{2i}-v_{1i})}{m_{1}+m_{2}}}}
v
2
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
+
C
r
m
1
(
v
1
i
−
v
2
i
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}+C_{r}m_{1}(v_{1i}-v_{2i})}{m_{1}+m_{2}}}}
其中，
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
前面所列方程式可以由恢復係數的方程式和動量守恆定律 推導出：
C
r
=
v
2
f
−
v
1
f
v
1
i
−
v
2
i
{\displaystyle C_{r}={\frac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}}}
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}}
將這兩個方程式重新編排，可以得到
v
2
f
=
C
r
(
v
1
i
−
v
2
i
)
+
v
1
f
{\displaystyle v_{2f}=C_{r}(v_{1i}-v_{2i})+v_{1f}}
v
1
f
=
(
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
−
m
2
v
2
f
)
/
m
1
{\displaystyle v_{1f}=(m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}-m_{2}v_{2f})/m_{1}}
將
v
2
f
{\displaystyle v_{2f}}
v
1
f
{\displaystyle v_{1f}}
v
1
f
=
[
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
−
C
r
m
2
(
v
1
i
−
v
2
i
)
−
m
2
v
1
f
]
/
m
1
{\displaystyle v_{1f}=[m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}-C_{r}m_{2}(v_{1i}-v_{2i})-m_{2}v_{1f}]/m_{1}}
經過一番運算，可以得到
v
1
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
+
C
r
m
2
(
v
2
i
−
v
1
i
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}+C_{r}m_{2}(v_{2i}-v_{1i})}{m_{1}+m_{2}}}}
注意到恢復係數的方程式和動量守恆定律 對於第一個物體與第二個物體的對稱性，下標1與2可以對換，而不會改變方程式的形式，所以，
v
2
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
+
C
r
m
1
(
v
1
i
−
v
2
i
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}+C_{r}m_{1}(v_{1i}-v_{2i})}{m_{1}+m_{2}}}}
^ 硬圓球與彈塑性圓盤斜碰撞後，正常恢復運動的不規則行為。 ^ 斜碰撞後，恢復係數的不規則行為。 ^ 薄圓片的不規則碰撞行為。 ^ 4.0 4.1 4.2 O'reilly, Oliver, Engineering dynamics: a primer illustrated: pp. 98ff, 2001, ISBN 9780387951454 ^ Penner, A. Raymond. The physics of golf . REPORTS ON PROGRESS IN PHYSICS (INSTITUTE OF PHYSICS PUBLISHING). 2003, 66 (2): pp. 131–171. doi:10.1088/0034-4885/66/2/202 ^ Quintavalla, Steven. EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE EFFECTS OF CLUBHEAD SPEED ON DRIVER LAUNCH CONDITIONS AND THE EFFECTS ON DRIVE DISTANCE FOR BALLS USED BY THE PGA TOUR (PDF) . USGA Technical Report RB/cor2006-01. USGA. 2006-04-19 [2012-02-28 ] . （原始內容 (PDF) 存檔於2011-02-11）. ^ ITF Approved Tennis Balls, Classified Surfaces & Recognised Courts 2011 - a guide to products and test methods (PDF) . International Tennis Federation. 01-11-2011 [2012-02-27 ] . （原始內容存檔 (PDF) 於2011-12-19）. ^ ITTF Technical Leaflet T3: The Ball (PDF) . ITTF: 4. December 2009 [28 July 2010] . （原始內容 (PDF) 存檔於2011年3月4日）. ^ UT Arlington Physicists Question New Synthetic NBA Basketball . [May 8, 2011] . （原始內容 存檔於2011年1月30日）. ^ McGinnis, Peter. Biomechanics of sport and exercise 2, illustrated. Human Kinetics. 2005: pp. 85. ISBN 9780736051019
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![{\displaystyle v_{1f}=[m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}-C_{r}m_{2}(v_{1i}-v_{2i})-m_{2}v_{1f}]/m_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c4443d97335eae68f9327d0a1a1af65518738f)