分數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有盡小数
 無盡小数
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

分數（英語：fraction）是用分式（分數式）表達成 ${\frac {a}{b}}$ 的數（ $a,b\in Z,b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 稱為分母（denominator）而 $a$ 稱為分子（numerator）^[1]，可視為某件事物平均分成 $b$ 份中佔 $a$ 份，讀作「 $b$ 分之 $a$ 」。中間的線稱為分線或分數線。有時人們會用 $a/b$ 來表示分數。

用法

分數有各種不同的用法與意義：

兩個整數的比例： ${\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)$ ，這是兩個數量的比較關係。
有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
整數除法： ${\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)$ ，結果會是一個整數、有盡小数或循環小數。
等分： ${\frac {1}{3}}$ 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。 ${\frac {1}{3}}$ 也就是 $3$ 這個整數的倒數。

這些概念在數學裏都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

分類

最簡分數（最簡分數）（irreducible fraction）: 分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如： ${\frac {4}{~{}15~{}}}$
真分數（proper fraction）: 除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如： ${\frac {3}{~{}7~{}}}$
假分數（top-heavy/improper fraction）: 假分數是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分數，可寫成帶分數。例如： ${\frac {5}{~{}3~{}}}$ 和 ${\frac {8}{~{}8~{}}}$
帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number^[1]）: 一個整數（whole number）加一個真分數，例如 $a{\frac {b}{c}}$ ，讀作「a又c分之b」；又例如 $1{\frac {1}{~{}2~{}}}$ ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與 ${\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}$ 等價。
十進位分數（decimal fraction）: 分母為 $10$ 的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如， ${\frac {1}{100}}$ 一般記為 $0.01$ ，也可以百分率簡記為 $1\%$ ，或是以 $10$ 的冪記為 $10^{-2}$ 。
單位分數: 分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如： ${\frac {1}{~{}99~{}}}$
古埃及分數（Egyptian fraction）: 將分數表達成單位分數之和。例如： ${\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}$
繁分數: 分子和/或分母包含了分數的分數，例如 ${\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}$ 。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化，即前面的式子等於 ${\frac {ad}{~{}bc~{}}}$ 。
連分數: 外觀如 $x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分數，其中 $a_{i}$ 是整數。若只有有限個 $a_{i}$ 非零，則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

約分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。約分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}$

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分別化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}$

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

\quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})

={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.

外部連結

Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2014-10-21）.
埃里克·韋斯坦因. Fraction. MathWorld.
Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2015-04-26）.
Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2020-11-07）.
Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2011-10-11）.
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.

[1]

閱論編分數 & 比率
	除法＆比例	被除數 : 除數 = 商數
	分數	分子/分母=商數
	代數長寬比連分數十進制二進分數古埃及分數黃金分割率白銀比例整數最簡分數精簡最小公分母音程百分比單位分數

用法

分類