九點圓
九點圓定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圓，這個圓被稱為九點圓，又稱歐拉圓、費爾巴哈圓。
九點圓具有以下性質：
1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）[1]分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。
如圖：
、
、
為三邊的中點，
、
、
為垂足，
、
、
為和頂點到垂心的三條線段的中點。
- 容易得出
、
（
相似）
- 因此
- 同樣可得出
、
（相似）
- 因此
- 又
，可得出四邊形
是矩形（四點共圓）
- 同理可證
也是矩形（
共圓）
，因此可知也在圓上（圓周角相等）
- 同理可證、兩點也在圓上（九點共圓）
九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 在直角坐標系中，已知圓的方程為
，其中
為圓的半徑，
為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點
的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：
- 設為外接圓的半徑、為外接圓的圓心坐標、點為垂心坐標。
- 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 同時還可以得出下面的性質：
- 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為
- 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。
- 垂心四面體的12點共球九點圓是垂心四面體各棱的中點和垂足（相對於對棱）共球的特例，兩者是同構的
- 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
- 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
- 三線坐標中，九點圓的座標為
- 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為
