abc猜想

abc猜想（英語：abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

內容

對正整數$n$，$\operatorname {rad} (n)$表示$n$的質因數的積，稱為$n$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

$a=2$, $b=7$, $c=9$：$\operatorname {rad} (abc)=42>c$。

$a=9$, $b=16$, $c=25$：$\operatorname {rad} (abc)=30>c$。

但是也有反例，例如：

$a=3$, $b=125$, $c=128$：因為$125=5^{3}$，$128=2^{7}$，故此$\operatorname {rad} (abc)=30<c$。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何$\varepsilon >0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }$

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何$\varepsilon >0$，存在常數$C_{\varepsilon }>0$，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

$c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },$

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

$q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何$\varepsilon >0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$q(a,b,c)>1+\epsilon$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

$a_{n}=3^{2^{n}}-1$, $b_{n}=1$, $c_{n}=3^{2^{n}}$

這三個正整數互質，且有$a_{n}+b_{n}=c_{n}$。注意到$a_{n}$可被$2^{n+2}$整除，因此有

$\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}$:

因此

$c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})$

當n趨向無限大時，${\frac {2^{n+1}}{3}}$也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理
• 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） (Granville 2002)
• Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）(Elkies 1991)
• Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。(Langevin 1993)
• 存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988)
• Marshall Hall猜想的弱形式(Nitaj 1996)
• 費馬－卡塔蘭猜想(Pomerance 2008)
• 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有西格爾零點（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）(Granville 2000)
• 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。
• Tijdeman定理的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
• 等價於Granville–Langevin 猜想
• 等價於修改後的Szpiro猜想(Oesterlé 1988)
• Brocard問題n! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。(Dąbrowski 1996)

理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

$c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}$ (Stewart & Tijdeman 1986),

$c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}$ (Stewart & Yu 1991),

$c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}$ (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

符合q > 1的三元組分佈

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。

已知之中最高品質的三元組

	q	a	b	c	發現者
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將$\operatorname {rad} (abc)$用$\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)$取代，在此$\omega$是$a,b,c$的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果。2012年12月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了18處錯誤，當中很多也是打字錯誤。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。

參見

• 根基
• Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

參考文獻

來源

• Baker, Alan. Logarithmic forms and the abc-conjecture. Győry, Kálmán (編). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. 1998: 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047. 
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter. Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs 4. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. doi:10.2277/0521846153. 
• Browkin, Jerzy; Brzeziński, Juliusz. Some remarks on the abc-conjecture. Math. Comp. 1994, 62 (206): 931–939. JSTOR 2153551. doi:10.2307/2153551. 
• Browkin, Jerzy. The abc-conjecture. Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (編). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. 2000: 75–106. ISBN 3-7643-6259-6. 
• Dąbrowski, Andrzej. On the diophantine equation $x!+A=y^{2}$. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 1996, 14: 321–324. 
• Elkies, N. D. ABC implies Mordell. Intern. Math. Research Notices. 1991, 7 (7): 99–109. doi:10.1155/S1073792891000144. 
• Goldfeld, Dorian. Beyond the last theorem. Math Horizons. 1996, (September): 26–34. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. 2008: 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Granville, A. ABC Allows Us to Count Squarefrees (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998, 1998: 991–1009 [2014-09-29]. doi:10.1155/S1073792898000592. （原始內容存檔 (PDF)於2014-02-02）. 
• Granville, Andrew; Stark, H. ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent (PDF). Inventiones Mathematicae. 2000, 139: 509–523 [2014-09-29]. doi:10.1007/s002229900036. （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-23）. 
• Granville, Andrew; Tucker, Thomas. It’s As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 2002, 49 (10): 1224–1231 [2014-09-29]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-02-15）. 
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. 
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. Graphs on Surfaces and Their Applications. Encyclopaedia of Mathematical Sciences: Lower-Dimensional Topology II 141 (Springer-Verlag). 2004. ISBN 3-540-00203-0. 
• Langevin, M. Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1993, 317 (5): 441–444 （法語）. 
• Masser, D. W., Open problems, Chen, W. W. L. (編), Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College, 1985 
• Nitaj, Abderrahmane. La conjecture abc. Enseign. Math. 1996, 42 (1–2): 3–24 （法語）. 
• Oesterlé, Joseph, Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694, 1988, (161): 165–186 [2012-09-20], ISSN 0303-1179, MR992208, （原始內容存檔於2018-01-20） 
• Pomerance, Carl. Computational Number Theory. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 361–362. 
• Silverman, Joseph H. Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal of Number Theory. 1988, 30 (2): 226–237. Zbl 0654.10019. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. 
• Stewart, C. L.; Tijdeman, R. On the Oesterlé-Masser conjecture. Monatshefte für Mathematik. 1986, 102 (3): 251–257. doi:10.1007/BF01294603. 
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui. On the abc conjecture. Mathematische Annalen. 1991, 291 (1): 225–230. doi:10.1007/BF01445201. 
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui. On the abc conjecture, II. Duke Mathematical Journal. 2001, 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6. 

外部連結

• ABC@home（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 分布式計算項目ABC@Home.
• Easy as ABC（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• 埃里克·韋斯坦因. abc Conjecture. MathWorld. 
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• The amazing ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about Number（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on MathOverflow
• ABC Conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.