雙四角錐柱

雙四角錐柱

類別	詹森多面體 J14 - J15 - J16
對偶多面體	雙四角錐台
識別
名稱	雙四角錐柱
參考索引	J15
鮑爾斯縮寫	esquidpy
性質
面	12
邊	20
頂點	10
歐拉特徵數	F=12, E=20, V=10 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8個三角形 4個正方形
頂點圖	2個(34) 8個(32.42)
對稱性
對稱群	D4h, [4,2], (*422)
旋轉對稱群	D4, [4,2]+, (422)
圖像
雙四角錐台 （對偶多面體） （展開圖）

雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱，其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形，且側面都是正多邊形的話，則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體，為92種詹森多面體中的其中一個，其索引為J₁₅。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。

雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體（pencil cube）或12面鉛筆立方體（12-faced pencil cube）

性質

雙四角錐柱共由12個面、20條邊和10個頂點組成，在其12個面中，有8個三角形面和4個正方形面。在其10個頂點中，有兩種頂點，一種頂點為4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3⁴]來表示，這種頂點有2個、另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3²,4²]來表示，這種頂點有8個。

體積與表面積

若一個雙四角錐柱邊長為$L$，則其體積$V$與表面積$A$為：

$V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521$

$A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615$

這樣的雙四角錐柱整體的高$H$為：

$H=L\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx L\cdot 2.414213562$

二面角

雙四角錐柱共有3種二面角，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角。其中正方形和正方形的二面角為直角，即90度角。

$\angle$正方形$,$正方形$\,=90^{\circ }$

而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度：

$\angle$三角形$,$正方形$\,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }$

三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度：

$\angle$三角形$,$三方形$\,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }$

頂點座標

若一個雙四角錐柱邊長為單位長，且幾何中心位於原點，則其頂點座標為：

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)$

$\left(0,\,0,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)$

相關多面體

一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形，三角形的邊長比為$2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}}$。

其可以被認為是立方體堆砌和菱形十二面體堆砌之間的過渡立體。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面，其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體（正八面體和三角反稜柱）組成的，由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成。兩種堆砌體都具有$\left[\left[4,3,4\right]\right]$對稱性。

雙四角錐柱堆砌

一半的堆砌

倒角正方形鑲嵌

雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱，也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有：

二側錐柱體

側錐方式	3	4	5	6	7	8
鄰
	二側錐三角柱	鄰二側錐四角柱	鄰二側錐五角柱	鄰二側錐六角柱	鄰二側錐七角柱	鄰二側錐八角柱
間	-	-
			間二側錐五角柱	間二側錐六角柱	間二側錐七角柱	間二側錐八角柱
對	-		-		-
		對二側錐四角柱		對二側錐六角柱		對二側錐八角柱
1,4	-	-	-	-
					1,4-二側錐七角柱	1,4-二側錐八角柱

參見

• 詹森多面體
• 正多面體
• 正四角錐
• 正六面體