自守形式

數學上所謂的自守形式（英語：Automorphic form），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義

設 $\Gamma$ 為作用於複區域 $D$ 的離散群。取定自守因子 $j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)$ 及權 $m\in \mathbb {N}$ 。相應的權 $m$ 自守形式是 $D$ 上滿足下述函數方程的全純函數

j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma

。

自守因子 $j_{\gamma }(x)$ 當 $\gamma$ 固定時是 $D$ 上的全純函數，並且是 $\Gamma$ 上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數 $f$ 可推廣成取值為矩陣的函數；權 $m$ 的限制亦可放鬆，例如半整數 $m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z}$ 。

群上的定義

自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 $G=\mathrm {GL} (n)$ ，其中心可等同於 $\mathbb {G} _{m}$ 。

考慮整體域 $F$ （例如 $F=\mathbb {Q}$ ），由此定義 $G$ 的阿代爾點 $G(\mathbb {A} _{F})$ ，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 $K$ 。

固定一擬特徵 $\omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ 。以 $\omega$ 為中心特徵的自守形式定為 $G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})$ 上滿足下列條件的複值函數 $f$ ：

$f$ 光滑：若 $F$ 為函數域，這代表 $f$ 是局部常數函數。否則意謂存在一組 $G(\mathbb {A} _{F})$ 的開覆蓋 ${\mathcal {U}}$ ，對每個 $h\in U\in {\mathcal {U}}$ ， $f(h)=f_{U}(h_{\infty })$ ，而 $f_{U}$ 無窮可微。
對任何 $z\in \mathbb {A} _{F}$ 及任何 $h$ ，總有 $f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)$ 。
$f$ 右 $K$ -有限：函數 $f(\cdot k)\;(k\in K)$ 張成有限維向量空間。
承上，設 ${\mathcal {Z}}_{v}$ 為泛包絡代數 $U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))$ 之中心，則 $f$ 為 ${\mathcal {Z}}_{v}$ -有限。
緩增性：固定適當的高度函數 $\|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}$ （取法不影響定義），存在常數 $C$ 及 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $|f(g)|\leq C\|g\|^{N}$ 。

註記. 若 $v$ 是 $F$ 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 ${\mathfrak {gl}}(n,F_{v})$ 的作用 $f\mapsto Xf$ 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有 $r+s=n\,(0<r,s<n)$ 皆有

\int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0

則稱 $f$ 為尖點形式。

自守表示

定義 ${\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 為中心特徵為 $\omega$ 的自守形式集，子空間 ${\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 $G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })$ 的表示；對阿基米德賦值則帶有 $({\mathfrak {g}},K)$ -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 ${\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}$ 的表示。注意：它們並非 $G(\mathbb {A} )$ 的表示！

一個自守表示是 ${\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}$ -模 ${\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 之子商， $\omega$ 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 ${\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 之子空間。

參考文獻

A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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