篩法基本引理

在數論上，篩法基本引理（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。哈巴施潭與理希 寫道：

篩法文獻一個引人好奇的特性是盡管人們常用布朗篩法，但僅有少數人嘗試為布朗『定理』（如定理2.1）給出一個一般公式；而這結果就是，有令人驚訝多的論文不斷地在許多細節上，重複布朗的論證。

賈盟（Diamond）與哈巴施潭認為「基本引理」一詞源自約拿·古必柳。

共通符號

此條目中，我們使用以下的符號：

• $A$是一個有$X$個正整數的集合，而$A_{d}$則是由可被$d$除盡的正整數組成的子集。
• $w(d)$及$R_{d}$是$A$與$d$的函數，這些函數可用以估計$A$中可被$d$除盡的元素的個數。而我們有以下的公式：

$\left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.$

因此，$w(d)/d$表示能被$d$除盡的元素的大緻密度；而$R_{d}$則表示剩餘項或誤差。

• $P$是一個質數的集合，而$P(z)$則是所有不大於$\leq z$的質數的乘積。
• $S(A,P,z)$是$A$中不為任何$P$中不大於$\leq z$的質數除盡的元素的數量。
• $\kappa$是一個常數，又稱作篩選密度（sifting density）。這篩選密度會出現在以下的假設中，表示被每個質數篩掉的同餘類數量的加權平均。

組合篩法基本引理

以下公式表示取自太能保母（Tenenbaum）。，其他的公式表示則可見於哈巴施潭與理希、、葛里維斯（Greaves）及及弗里蘭與伊萬尼茲等人的著作。

我們首先作出如下假設：

• $w(d)$是一個積性函數。
• 對於某個常數$C$及任意滿足$2\leq \eta \leq \xi$的實數$\eta$及$\xi$而言，篩選密度$\kappa$滿足如次條件：$\prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).$

對於$A$、$X$、$z$及$u$而言，我們有以下等式。此公式中的$u\geq 1$由使用者自行決定其數值：

$S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).$

在實際應用中，可對$u$進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於容斥原理的使用層級數。

塞爾伯格篩法基本引理

以下公式表示取自哈巴施潭與理希的結果；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與哈巴施潭的結果。

我們首先作出如下假設：

• $w(d)$是一個積性函數。
• 對於某個常數$C$及任意滿足$2\leq \eta \leq \xi$的實數$\eta$及$\xi$而言，篩選密度$\kappa$滿足如次條件：$\qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.$
• 對於一些小且固定的$c$及所有的$p$而言，${\frac {w(p)}{p}}<1-c$。
• 對於所有無平方因子、且質因數位於$P$中的$d$而言，$|R(d)|\leq w(d)$。

使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設$u=\ln {X}/\ln {z}$，則有如次結論：

$S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.$

應當注意的是，在我們的處理中，$u$不再是一個獨立參數，而是一個取決於$z$的參數。

另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而哈巴施潭與理希對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」