相親數

相親數（Amicable numbers），又稱親和數、友愛數、友好數，指兩個正整數中，彼此的全部正約數之和（本身除外）與另一方相等。畢達哥拉斯曾說：「朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。」

每一對親和數都是過剩數配虧數，較小的是過剩數，較大的是虧數。

例如220與284：

• 220的全部正因數（除掉本身）相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
• 284的全部正因數（除掉本身）相加的和是：1+2+4+71+142=220

親和數中可輕易推出，一方的全部正因數之和與另一方的全部正因數之和相等。(此敘述不可逆，不能用來判斷是否為親和數)

• 220的全部正因數之和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
• 284的全部正因數之和是：1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十個相親數是：（220,284），（1184,1210），（2620,2924），（5020,5564），（6232,6368），（10744,10856），（12285,14595）， （17296,18416），（63020,76084）和（66928,66992）……（OEIS數列A259180）。 （另見 A002025和 A002046）

歷史

• 320年左右，古希臘畢達哥拉斯發現的220與284，是人類認識的第一對相親數．
• 約850年，阿拉伯數學家塔別脫·本·科拉就發現了相親數公式，後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
• 1636年，費馬發現了另一對相親數：17296和18416。
• 1638年，笛卡兒也發現了一對相親數：9363584和9437056。
• 歐拉也研究過相親數這個課題。1750年，他一口氣向公眾拋出了60對相親數：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，從而引起了轟動。
• 1866年，年方16歲的意大利青年巴格尼尼（並非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼）發現1184與1210是僅僅比220與284稍為大一些的第二對相親數。
• 目前，人們已找到了12,000,000多對相親數。但相親數是否有無窮多對，相親數的兩個數是否都是或同是奇數，或同是偶數，而沒有一奇一偶等，這些問題還有待繼續探索。

尋找方法

歐拉法則

對於正整數$m,n$，$m<n$，$a=2^{m}(2^{n-m}+1)-1$，$b=2^{n}(2^{n-m}+1)-1$，$c=2^{n+m}(2^{n-m}+1)^{2}-1$。若$a,b,c$均為質數，則$2^{n}\times ab$和$2^{n}\times c$是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對$(m,n)=(1,2),(3,4),(6,7),(1,8),(29,40)$，但$n<2500$時沒有其他符合的數對。

塔別脫·本·科拉法則

這是歐拉法則$m=n-1$的特殊情況：第$n$個塔別脫·本·科拉數$K_{n}=3\times 2^{n}-1$。若$K_{n}$、$K_{n-1}$和$3\times K_{2n-1}+2$均為質數，則$2^{n}K_{n}K_{n-1}$和$2^{n}\times 3\times K_{2n-1}+2$是相親數。

其他

• 在目前所有已知的情況下，相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在，但若存在，則偶數必須為完全平方數或其兩倍，且奇數也必須是完全平方數。
• 目前已知存在7對具有不同的最小質因數的相親數。
• 在目前所有已知的情況下，相親數皆具有質公因數。目前不知道是否存在互質的相親數。若存在，兩者乘積必大於10⁶⁷.
• 1955年，艾狄胥·帕爾（PaulErdős）說明相親數相對於正整數的密度為0。

參看

• 相親數鏈（交連數）
• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 豐數
• 虧數
• 梅森素數
• 半完全數
• 佩服數

延伸閱讀

• 本條目包含來自公有領域出版物的文本: Chisholm, Hugh (編). Amicable Numbers. Encyclopædia Britannica (第11版). London: Cambridge University Press. 1911. 
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001. 
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. 1987: 145–147. 
• 埃里克·韋斯坦因. Amicable Pair. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. Euler's Rule. MathWorld.