正則量子化

物理學中，正則量子化是多種對古典理論進行量子化的數學方法中的一種；在對古典場論進行量子化時，又稱二次量子化。「正則」這個詞其實源自古典理論，指的是理論中一種特定的結構（稱作辛結構（Symplectic structure）），這樣的結構在量子理論中也被保留。這在保羅·狄拉克嘗試建構量子場論時由他首先強調。

普通的量子力學方法只能處理粒子數守恆的系統。但在相對論量子力學中，粒子可以產生和湮沒，普通量子力學的數學表述方法不再適用。二次量子化通過引入產生算符和湮沒算符處理粒子的產生和湮沒，是建立相對論量子力學和量子場論的必要數學手段。相比普通量子力學表述方式，二次量子化方法能夠自然而簡潔的處理全同粒子的對稱性和反對稱性，所以即使在粒子數守恆的非相對論多體問題中，也被廣泛應用。

為何稱作「正則」？

「正則」（canonical）具有「標準」的意思，此一稱呼是因為此方法與源於古典力學的古典場論方法有強烈的關聯。在古典場論中，場φ(x, t)為動力學變數，在每個時空點x, t都有值。若將之視為正則坐標，則正則動量為φ的空間導數。在古典動力學中，這些量所組成的泊松括號應該為一。在量子力學中，正則坐標與正則動量都變成了算符，而泊松括號變成了對易子或反對易子。運用到這樣關係的量子化即為正則量子化。

量子化的數學形式

多粒子態

在二次量子化的表述中，多粒子態簡單的以標記每個量子態上有多少個粒子來表示：

$|n_{1},n_{2},n_{3},\cdots \rangle$

即「量子態1上有n₁個粒子，量子態2上有n₂個粒子，量子態3上有n₃個粒子，……」

玻色子的二次量子化

參見：玻色子

湮沒算符

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle$

產生算符

$a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle$

對易關係

參見：對易關係

$\left[a_{i},a_{j}\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i},a_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}$

費米子的二次量子化

參見：費米子

湮沒算符

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =0$

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle$

產生算符

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle$

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =0$

反對易關係

主條目：反對易關係

$\left\{c_{i},c_{j}\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i},c_{j}^{\dagger }\right\}=\delta _{ij}$

場算符

主條目：場算符

相關條目

• 量子場論