弗里斯傳輸方程

弗里斯傳輸方程（Friis transmission equation）用於通信工程，表述為理想條件下給定距離外的天線發送一個已知功率的信號，則接收天線終端的接收功率等於入射波功率密度與接收天線有效孔徑的乘積。 這個方程最先由丹麥裔美國無線電工程師哈拉爾德·T·弗里斯於1946年提出。 這個方程有時也被稱為弗里斯傳輸等式。

弗里斯原始方程

弗里斯最初建立他的傳輸方程時，摒棄了使用天線的方向性和增益來描述天線的性能，取而代之使用表徵自由空間無線電路行為的天線接收區域描述符。

Friis' Free-space Radio Circuit.

於是他發布了如下形式的傳輸方程...

${\frac {P_{r}}{P_{t}}}=\left({\frac {A_{r}A_{t}}{d^{2}\lambda ^{2}}}\right)$

其中：

• $P_{t}$ 是輸入到發射天線輸入端的功率；
• $P_{r}$ 是接收天線輸出端接收到的功率；
• $A_{t}$ 是發射天線的有效面積；
• $A_{r}$ 是接收天線的有效面積；
• $d$ 天線間的距離；
• $\lambda$ 是射頻信號的波長；
• $P_{t}$ 和 $P_{r}$ 使用相同的功率單位；
• $A_{r}$, $A_{t}$, $d$, 和 $\lambda$ 使用相同的長度單位；
• 距離 $d$ 應當足夠大以確保接收天線處的平面波陣面充分滿足 $d\geqq 2a^{2}/\lambda$ ，其中 $a$ 表示任一天線的最大線性尺寸。

弗里斯認為這樣的表述形式比其他方程更易於記憶，因為不需要記憶各種數值係數。但是原先用場強表述的發射天線性能需要換用單位面積上的功率密度來表述，同時原先用功率增益或輻射電阻表述的接收天線性能則要換用其有效面積表述。

現今的方程

後來少有人按照弗里斯的建議，用天線有效面積來表述天線性能，取而代之的是的現今的天線方向性係數和增益指標，方程變成...

${\frac {P_{r}}{P_{t}}}=D_{t}D_{r}\left({\frac {\lambda }{4\pi d}}\right)^{2}$

也有文獻使用天線增益代替方向性係數，方程變成...

${\frac {P_{r}}{P_{t}}}=G_{t}G_{r}\left({\frac {\lambda }{4\pi d}}\right)^{2}$，天線增益G為方向性係數D與天線效率ϵ的乘積$G=\epsilon \cdot D$

其中 $D_{t}$ 和 $D_{r}$ 分別表示發送和接收天線的方向性係數（與各向同性點源天線相關），$\lambda$ 表示波長，可以表示成接收天線的等效孔徑區域面積，$d$ 表示天線之間的距離。 使用這個公式計算時，表示天線方向性係數應當是線性的數值，波長和距離的單位也必須相同。 單位換算為分貝（dB）計算，等式可以表示為：

$P_{r}=P_{t}+D_{t}+D_{r}-20\log _{10}\left({\frac {4\pi d}{\lambda }}\right)$ (其中方向性係數以 dBi 為單位，功率是以 dBm 或 dBW 為單位)

其中最後一項常被稱為路徑損耗（path loss）或傳播損耗（propagation loss）$L_{s}=20\log _{10}\left({\frac {4\pi d}{\lambda }}\right)$

簡單形式適用於以下條件：

• $d\gg \lambda$ 因此兩天線彼此處於遠場通信環境中；
• $P_{t}$ 是輸入到全向發射天線端子的發射功率；
• $P_{r}$ 是接收天線端子接收到的功率，數值上等於入射波功率密度與接收天線的有效孔徑區域面積的乘積，有效孔徑區域面積正比於 $\lambda ^{2}$；
• $D_{t}$ 是發射天線在由接收天線的方向的方向性係數；
• $D_{r}$ 是接收天線在由發射天線的方向的方向性係數；
• 天線對準放置並具有相同的極化方向；
• 天線置於無障礙的自由空間，不含多徑傳播；
• 信號帶寬足夠窄，可以假定是個單音信號。

由於障礙物，建築物的反射以及影響最大的地面反射，一般的地面通信幾乎無法滿足這些理想條件。只有某些特殊的環境下方程才是相當精確的，一種是在衛星通信中，因為大氣吸收的因素可以忽略不計；另一種情況是在專門設計成減少反射的消音室。

除了從天線理論推導外，這一基本方程也可以從輻射測量和標量衍射的原理中推導出來，但需要強調對其的物理理解。

參見

• 鏈路預算

延伸閱讀

• Harald T. Friis, "A Note on a Simple Transmission Formula," Proceedings of the I.R.E. and Waves and Electrons, May, 1946, pp 254–256.
• J.D.Kraus, "Antennas," 2nd Ed., McGraw-Hill, 1988.
• Kraus and Fleisch, "Electromagnetics," 5th Ed., McGraw-Hill, 1999.
• D.M.Pozar, "Microwave Engineering." 2nd Ed., Wiley, 1998.
• Shaw, J.A. Radiometry and the Friis transmission equation. Am. J. Phys. 2013, 81 (33): 33–37. 

外部連結

• Derivation of Friis Transmission Formula （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Friis Transmission Equation Calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Another Friis Transmission Equation Calculator
• Seminar Notes by Laasonen