單參數酉群的斯通定理

在數學中，單參數酉群的斯通定理是泛函分析的一個基本定理，建立了希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上強連續單參數酉群與該空間上的某個自伴算子的一一對應關係。具體來說，單參數酉群是指幺正算子構成的單參數族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ ，且 $t\mapsto U_{t}$是一個連續群同態，所謂強連續是指

$\forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ).$

該定理由Marshall Stone （1930, 1932）證明，而 John von Neumann （1932） 表明，至少當希爾伯特空間是可分的， $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的強連續性可以放寬為弱可測。

這是一個令人印象深刻的結果，因為它允許人們定義映射 $t\mapsto U_{t}$ 的導數，而該映射僅僅需要是連續的。它也與李群和李代數的理論有關。

正式表述

定理 — 設 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是一個強連續的單參數酉群。那麼存在一個唯一的（可能是無界的）自伴算子 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 滿足 $$\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.$$ $A$ 的定義域 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 定義為 $${\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.$$

反過來，設 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 是一個 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 上的（可能無界的）自伴算子，並定義單參數的幺正算子族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 為 $$\forall t\in \mathbb {R} ,\quad U_{t}:=e^{itA},$$ 則其構成一個強連續的單參數群。

在定理的兩個部分中，表達式 $e^{itA}$ 是通過博雷爾函數演算來定義的，它用到了無界自伴算子的譜定理。

無窮小生成元

上述定理中的算子 $A$ 被稱為 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元。此外， $A$ 有界當且僅當映射 $t\mapsto U_{t}$ 是範數連續的。

強連續酉群 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元 $A$ 可以用下面的式子來計算：

$A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},$

其中， $A$ 的定義域為由這些在範數拓撲中存在極限的向量 $\psi$ 組成。也就是說， $A$ 等於 $-i$ 乘以 $U_{t}$ 關於 $t$ 在 $t=0$ 處的導數。該定理的一部分內容就是該導數的存在性——即 $A$ 是一個稠密定義的自伴算子。這個結果即使在有限維情況下也不是顯然的，因為 $U_{t}$ 僅被假設具有（關於時間的）連續性，而不必可微。

例子

平移算子族

$\left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)$

是一個由酉算子構成的單參數酉群；其無窮小生成元是一個空間上的微分算子

$-i{\frac {d}{dx}}$

的一個擴張，該空間由 $\mathbb {R}$ 上連續可微的緊支撐復值函數構成。因此

$T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.$

換句話說，直線上的運動是由動量算子生成的。

應用

斯通定理在量子力學中有着廣泛的應用。例如，給定一個孤立的量子力學系統，其狀態的希爾伯特空間為 ${\mathcal {H}}$ ，其時間演化則是 ${\mathcal {H}}$ 上的強連續單參數酉群。這個群的無窮小生成元即是系統的哈密頓算子。

基於傅里葉變換的表述

斯通定理可以用傅里葉變換的語言來重述。實軸 $\mathbb {R}$ 是一個局部緊阿貝爾群。群C*-代數 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 的非退化*-表示與 $\mathbb {R}$ 的強連續幺正表示（即強連續的單參數酉群）一一對應。另一方面，傅里葉變換是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-同態，其中 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 是實軸上的在無窮遠處消失的連續復值函數所構成的C*-代數。因此，強連續單參數酉群與 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-表示之間存在一一對應關係。由於 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的每個*-表示唯一地對應於一個自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，獲得強連續單參數酉群的無窮小生成元的過程如下：

• 設 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是 $\mathbb {R}$ 在希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上的強連續幺正表示。
• 積分此酉表示以產生 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化*-表示 $\rho$ 。即，先定義$$\forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)U_{t}dt,$$再將 $\rho$ 連續擴張到整個 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 。
• 使用傅里葉變換獲得 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化的 *-表示 $\tau$ 。
• 根據里斯-馬爾可夫-角谷表示定理， $\tau$ 給出 $\mathbb {R}$ 上的一個投影值測度，而其是唯一的（可能無界的）自伴算子 $A$ 的單位分解。
• 於是， $A$ 就是 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元。

$C^{*}(\mathbb {R} )$ 的精確定義如下。考慮 $\mathbb {R}$ 上的緊支撐連續復值函數，通過由卷積給出其乘法，其構成一個*-代數 $C_{c}(\mathbb {R} )$ 。這個 *-代數關於L1範數可完備化為一個巴拿赫*-代數，記作 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 。於是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 就被定義為 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 的包絡$C^{*}$ -代數 ，即 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 相對於最大的可能的C*-範數的完備化。一個非平凡的事實是，傅里葉變換是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 與 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 間的一個同構。這個方向的一個結果是黎曼-勒貝格引理，它指出傅里葉變換將 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 映射到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 。

推廣

斯通-馮諾伊曼定理將斯通定理推廣到滿足正則對易關係的一對自伴算子 $(P,Q)$ 上，並證明它們都與 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上的位置算符和動量算符幺正等價。

希爾-吉田定理將斯通定理推廣到巴拿赫空間上的強連續單參數壓縮半群。

參考書目

• Hall, B.C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158 
• von Neumann, John, Über einen Satz von Herrn M. H. Stone, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1932, 33 (3): 567–573, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968535, doi:10.2307/1968535 （German）  引文格式1維護：未識別語文類型 (link)
• Stone, M. H., Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences), 1930, 16 (2): 172–175, Bibcode:1930PNAS...16..172S, ISSN 0027-8424, JSTOR 85485, PMC 1075964 , PMID 16587545, doi:10.1073/pnas.16.2.172 
• Stone, M. H., On one-parameter unitary groups in Hilbert Space, Annals of Mathematics, 1932, 33 (3): 643–648, JSTOR 1968538, doi:10.2307/1968538 
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968)