依概率收斂

在概率論中，依概率收斂是隨機變量收斂的方式之一。一個隨機變量序列 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 依概率收斂到某一個隨機變量 $X$ ，指的是 $X_{n}$ 和 $X$ 之間存在一定差距的可能性將會隨着n 的增大而趨向於零。

依概率收斂是測度論中的依測度收斂概念在概率論中的特例^[1]。

定義

設 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 是一個隨機變量序列， $X$ 是一個隨機變量。如果對於任意的正實數 $\epsilon >0$ ，都有：

\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X-X_{n}|\geq \epsilon )=0

那麼稱序列 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 依概率收斂到 $X$ 。

依概率收斂是一種常見的收斂性質。依概率收斂比依分布收斂更強，比平均收斂則要弱。

如果一個隨機變量序列依概率收斂到某一個隨機變量，則它們也一定依分布收斂到這個隨機變量。反過來則不然：只有當一個隨機變量序列依分布收斂到一個常數的時候，才能夠推出它們也依概率收斂到這個常數。