Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理，或简称Mason定理，是数学上关于多项式的定理，而这定理类似于整数上的abc猜想。这定理以1981年出版相关论述的Walter Wilson Stothers^[1]以及稍后独立发现这定理的R. C. Mason^[2]为名。

此定理陈述如下：

设

a (t)

、

b (t)

、

c (t)

为一个域上彼此互质的多项式、

a + b = c

的导数不全是0（Vanishing）导数的多项式，那么有

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leq \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.

其中 $rad(f)$ 是 $f$ 所有相异的不可约多项式的乘积。对于代数闭域而言，这是与 $f$ 有相同的根的最小多项式；在这状况下， $deg(rad(f))$ 即代表 $f$ 彼此相异的根的数量。^[3]

例子

对特征为0的域而言， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 不全为0（Vanishing）导数的多项式的等价条件是这些多项式不全是常数。对于特征为 $p > 0$ 的域而言，假定这些多项式不全是常数并不足够，像例如说，对特征为 $p$ 的域而言， $t p + 1 = (t + 1) p$ 这等式可给出三个多项式（其中 $a$ 与 $b$ 是等号左边的加数，而 $c$ 放在等号右边）的最大次数为 $p$ ，但其根基（也就是相异的根的数量）的次数仅仅为 $2$ 。
设 $a (t) = t n$ 及 $c (t) = (t +1) n$ 可给出使得Mason-Stothers定理等号成立的例子，而这显示说在一些状况下，不等式是最佳可能。
Mason-Stothers定理的一个推论是费马最后定理在函数域上的类比：对于彼此互质的多项式 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a (t) n + b (t) n = c (t) n$ 且相关联的域的特征不能除尽 $n$ 且 $n > 2$ ，那么 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 至少有一个为0或者这三个多项式全是常数。

证明

Snyder (2000)给出了以下关于Mason-Stothers定理的初等证明：^[4]

第一步、 $a + b + c = 0$ 这条件表示说 $W (a, b) = ab' - a' b$ 、 $W (b, c)$ 以及 $W (c, a)$ 等朗斯基行列式全数相等，设其共通值为 $W$ 。

第二步、 $a'$ 、 $b'$ 、 $c'$ 这三个导数至少有一个不是消失的（Vanishing）及 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 这两点表示说 $W$ 不等于零。

像例如说，若 $W = 0$ ，那么 $ab' = a' b$ ，故 $a$ 可除尽 $a'$ （而这是因为 $a$ 与 $b$ 彼此互质），因此 $a' = 0$ ，而这是因为在 $a$ 非常数的状况下，有 $deg a > deg a'$ 之故。

第三步、 $W$ 同时可被 $(a, a')$ 、 $(b, b')$ 以及 $(c, c')$ 这三组最大公因数除尽。由于这些多项式彼此互质之故，因此 $W$ 可被其乘积除尽；且因 $W$ 不等于零之故，因此有

deg (a, a') + deg (b, b') + deg (c, c') \leq deg W

第四步、将上式以下列不等式取代：

deg (a, a') \geq deg a

− （

a

相异的根的数量）

deg (b, b') \geq deg b

− （

b

相异的根的数量）

deg (c, c') \geq deg c

− （

c

相异的根的数量）

（其中根取自某个代数闭包）且因为

deg W \leq deg a + deg b - 1

之故，因此有

deg c \leq （ abc 相异的根的数量） - 1

而这正是所要证明的。

推广

这定理有一个将多项式环以函数域取代的自然推广，该推广如下：

设 $k$ 是一个特征为零的代数闭域，设 $C/k$ 是一个几何亏格（英语：Geometric genus）为 $g$ 的射影簇（英语：Projective variety），并设

a,b\in k(C)

为一个 $C$ 并满足 $a+b=1$ 的有理函数，并设 $S$ 为 $C (k)$ 中包含 $a$ 及 $b$ 所有零点和极点的集合，那么有

\max {\bigl \{}\deg(a),\deg(b){\bigr \}}\leq \max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}.

其中函数在 $k (C)$ 的次数是相应映射从 $C$ 映至^{P^1}的次数。而一个不同且较短的证明在同年由J. H. Silverman（英语：Joseph H. Silverman）发表。^[5]

此外还有一个推广，这推广由J. F. Voloch（英语：José Felipe Voloch）^[6]、 W. D. Brownawell（英语：W. Dale Brownawell）及D. W. Masser（英语：David Masser）等人独立发现，^[7]此推广给出了在 $a i$ 的子集没有一个是 $k$ ─线性独立的状况下，有 $n$ 个变数的 $S$ 单位等式 $a 1 + a 2 + ... + a n = 1$ 的上界，他们证明了下式：

\max {\bigl \{}\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n}){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}n(n-1)\max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}

参考资料

^ Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .
^ Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .
^ Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X.
^ Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074 , （原始内容存档 (PDF)于2015-09-06） .
^ Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4
^ Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39
^ Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434

外部链接

埃里克·韦斯坦因. Mason's Theorem. MathWorld.
Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Vishal Lama ─这是一篇Lang的书的证明的整理版。

[1] Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .

[2] Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .

[3] Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X.

[4] Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074 , （原始内容存档 (PDF)于2015-09-06） .

[5] Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4

[6] Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39

[7] Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]