逆矩阵

  提示：此条目页的主题不是转置矩阵。

逆矩阵（inverse matrix），又称乘法反方阵、反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵$\mathbf {A}$，若存在一n 阶方阵$\mathbf {B}$，使得$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$，其中$\mathbf {I} _{n}$为n 阶单位矩阵，则称$\mathbf {A}$是可逆的，且$\mathbf {B}$是$\mathbf {A}$的逆矩阵，记作$\mathbf {A} ^{-1}$。

只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有逆矩阵。若方阵$\mathbf {A}$的逆矩阵存在，则称$\mathbf {A}$为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般用于求解联立方程组。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵$A$可逆，则$A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}$其中$A^{*}=\mathrm {adj} (A)$是$A$的伴随矩阵，$|A|=\mathrm {det} (A)$是$A$的行列式。

注意：$A^{*}$中元素的排列特点是$A^{*}$的第$k$列元素是$A$的第$k$行元素的代数馀子式。要求得$A^{*}$即为求解$A$的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵$A$和$B$互逆，则$AB=BA=I$。由条件$AB=BA$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵$A$和$B$都是方阵。再由条件$AB=I$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为$0$。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是$n\times n$方阵，且$rank(A)=rank(B)=n$换而言之, ${\textstyle A}$与${\textstyle B}$均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵$A$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在$A$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对$A$和$I$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵$A$被变为$I$时，$I$就被变为$A$的逆阵$B$。

性质

1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$
3. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$（$A^{\mathrm {T} }$为A的转置）
5. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$（det为行列式）

广义逆阵

主条目：广义逆阵

广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E·H·摩尔和罗杰·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见

• 矩阵
• 广义逆阵
• 除法