连通空间

R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的，下面的空间 B 是不连通的。

在拓扑学及相关的数学领域中，连通空间是指不能表示为两个或多个不相交的非空开集的并集的拓扑空间。

定义

如果拓扑空间$X$中存在两个分离的非空开集$A,B$使得它们的并集等于$X$，则$X$被称作不连通的，否则称它是连通的。

对拓扑空间$X$，以下条件为等价的：

• $X$连通，即$X$不能表示为两个分离的非空开集的并集。
• $X$只有$\emptyset$和$X$这两个平凡的闭开集。
• 所有从$X$到$\{0,1\}$的连续函数都是常数函数，其中空间$\{0,1\}$由两点集的离散拓扑构成。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即如果两个同胚拓扑空间之一连通，则另一个空间也连通。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。

连通单元

如果拓扑空间$X$的子集$A$诱导的子拓扑空间是连通的，则$A$被称为$X$的连通子集。

对拓扑空间$X$上的点$x$，所有包含$x$的连通子集的联集

$U_{x}=\bigcup _{S{\text{連 通 }},x\in S}S$

也是连通的。作为包含$x$的极大连通子集，$U_{x}$称作关于$x$的连通单元。

如果$X$的所有连通单元都是单元素集合，则称$X$为完全不连通空间。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必为闭集，在一些理想的拓扑空间（如流形、代数簇）上同时是开集，但这不代表连通单元总是闭开集（例如完全不连通空间$\mathbb {Q}$，单元素集合在该空间中并非开集）。

其它连通性定义

道路连通，弧连通

R² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。

称拓扑空间X是道路连通空间，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数$\gamma :[0,1]\to X$ 使得 $\gamma (0)=x,\gamma (1)=y$。若$\gamma$ 可取为使得 $[0,1]\to \gamma ([0,1])$ 为同胚，则称X为弧连通空间。

道路连通空间必定是连通空间，反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通

拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立：

• 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。
• 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子

• 拓扑学家的正弦曲线：在平面欧几里得空间$\mathbb {R} ^{2}$中定义集合
  $S=\{(x,\sin {\frac {1}{x}})|x\in (0,1]\}$
  和
  $T=\{(0,y)|y\in [0,1]\}$
  。考虑$S\cup T$在$\mathbb {R} ^{2}$中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是局部连通的。
• 有理数：有理数集上的连通单元都是单元素集合，所以有理数集是一个完全不连通空间。

性质

• 拓扑空间$X$中带有公共点$x\in X$的连通子集的联集连通。
• 令$A$为拓扑空间$X$中的一个连通子集，则所有满足$A\subset B\subset {\overline {A}}$的子集$B$皆为连通子集，其中${\overline {A}}$为$A$的闭包。
• 序拓扑中的连通子集都是凸集。
• 实数$\mathbb {R}$是连通空间，它的所有（可以是无限）区间皆为连通子集。
• 对拓扑空间之间的连续函数$f:X\rightarrow Y$，$X$的连通子集在$f$下的像是$Y$的连通子集。这是$\mathbb {R}$上中间值定理的推广。
• 连通空间的有限积空间连通。

参考文献

• Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• 埃里克·韦斯坦因. Connected Set. MathWorld. 
• V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）. .